M. — IL

est aussi olotrope dans toute l'aire S^ mais qui ne s'évanouit plus pour X = a.

Par hypothèse /(a) = o, mais les dérivées dey(x) ne peuvent pas s'évanouir toutes en a, puisque nous supposons cette fonction non identiquement nulle (187*) ( * ). En appelant donc m l'ordre de la première des quantités /'(a), /''(a), . . . qui n'est pas nulle, la formule de Taylor donne immédiatement la relation (i), pourvu que l'on y prenne

Cette nouvelle fonction est olotrope dans toute l'aire S, savoir : f^ dans une aire partielle Sa délimitée autour de a de manière que la distance de l'un quelconque de ses points à a reste inférieure à quelque quantité positive, inférieure elle-même au rayon de convergence de cette série entière enx — a, parce qu'elle y est précisément représentée par la somme de la même série (141*); 2** dans le surplus de l'aire S, parce que (x — a)"* ne s'y évanouit pas et que, d'après la relation (1)1/0 (-3?) est de la forme

rapport de deux fonctions, olotropes dans ce surplus, dont la seconde ne peut s'y annuler (2o0*, III).

Pour ^ = a, la formule (2) donne d'ailleurs

quantité que nous supposons non = o.

2. Réciproquemen t, si Viden tité ( i ) a lieu, /o(^)y désignant une Jonction olotrope et non nulle en x = a^ cette valeur de x annule f{x) et ses m — i premières dérivées, mais non la m'^"**.

Pour ^=a, la fonction îp(:r) = (j7 — a)^ s'annule avec ses jyt, — i premières dérivées, mais cp^'"J(a)= i .0.. . . m est essentiel-

( ■ ) Dans ce Volume, un numéro de renvoi visera la première Partie de TOuvrage ou celle-ci, selon quMl sera affecté d'un astérisque ou d'aucun.