CHAPITRE III. — FONCTION RADICALE SIMPLE. IH

Observations complémentaires.

117. Quand les quantités X, Xq ne sont =o ni l'une ni Vautre, toute racine U de Inéquation numérique

peut être considérée comme la valeur acquise au bout de

quelque chemin conduisant de Xf^ à X, par la fonction fi^y x)

du n® 73, construite à partir de Xq avec une valeur initiale égale à quelque racine «©> convenablement choisie, de l'équation numérique

Traçons effectivement de X à Xq une ligne brisée [Xâ?o] dont la longueur de chaque côté soit inférieure à l'une et à Tautre des

distances de ses extrémités à l'origine O^, et appelons F| — > xj

la fonction f que l'on pourrait construire en prenant Xq = X, Wo = U.

11 résulte du n° 71, II, et de la théorie générale du cheminement (173"^), que sur le chemin [Xxo] parcouru d'une manière

quelconque dans un sens ou dans l'autre, F( — » xj est une pseudofonction monodrome. Si donc on nomme Uo sa valeur atteinte en Xo, cette quantité Uq estracine de l'équation numérique (2), et, en rebroussant chemin jusqu'à X, on retrouve U pour valeur finale de la même pseudo-fonction. Or la dernière partie de ce cheminement équivaut évidemment à celui qu'on exécuterait de Xo à X,

sur le chemin dont il s'agit, pour la fonction fi —9 x\.

118. Il résulte de cette proposition que quand x varie, les m racines de V équation

appartiennent respectivement à autant de pseudo-fonctions dont chacune est déterminée exactement par la connaissance

de celle des racines de r équation numérique (2) qui constitue

sa valeur initiale en j^oj ^^ pO'f^ l^ chemin suivi à partir de x^.

Nous appellerons ces m pseudo-fonctions les déterminations

de la fonction radicale simple ^x". Elles s^expriment immédialement au moyen de la fonction if du n® 78 et des racines m""** de l'unité (109). Car, en faisant j:o= i dans la formule (i3) du n° 77, et y prenant en conséquence pour u^ quelque racine m**"* de Tunité, elle devient

(4) u = Wo4'f£»:rV

Cette relation confère immédiatement à la fonction radicale simple toutes les propriétés fondamentales de la fonction ^ (78ef suiv,)y (103 e^ 5MÛ'.). Pour rappeler la grande ressemblance de la plupart des autres (81 et suiv,) avec celles du monôme à exposant entier, on appelle aussi cette fonction le monôme à exposant fractionnaire, et on la représente souvent par

11 faut toutefois retenir que cette notation acquiert un sens précis, après spécification seulement, tant des valeurs initiales adoptées que du chemin suivi à partir de celle de x.

Enfin le changement de la fraction — en une autre — >> égale

mais à termes différents, en altérerait la signification; car j;'" a m

déterminations, tandis que x*"' en a m'.

Sous le bénéfice de ces observations et en posant — = \^j les

principales formules de la théorie de la fonction ^ conduisent aux suivantes

(5) pï7r = f^(5^-0.-.([^-/^ + i)-

f ^ jx(|x — !)...( jjL—/?-M).rl^-/' (80, I)et (82),

(6) fa:V-dx = -^^ -h C = ^^^-hC (83),