Pour la somme des puissances semblables de ces racines

on trouve en particulier

toutes les fois que leur exposant A' n'est pas divisible par m. Quand l'exposant est multiple de m, on a au contraire

a cause

de 8^ = bJ . . . = 8*, = I .

116. Le produit 8182. . . 8,„ des racines /n*'-'"" de l'unité est une fonction symétrique du genre de la somme (9), et comme la précédente, de degré divisible par m. Sa valeur est intéressante à calculer.

On a

selon que m est pair ou impair.

En prenant effectivement ces racines sous les formes (7) et ayant égard à la relation générale (82) du n*» 91, il vient immédiatement

116 bis. Les racines communes aux deux équations

(lO) U'«i=l, «"». = 1

sont celles de l'équation

(il) arf=i,

d représentant le plus grand commun diviseur de m^ , m^.

Pour que la racine quelconque 4>f — ,j de la première équation (lo) appartienne à la seconde, il faut effectivement et il suffit, en posant

[ue

par suite (101, V) que — ^ soit un entier, ou bien, puisque m\

est premier à m^, que g soit divisible par m\, c'est-à-dire de la forme y/Ti, , y désignant quelque entier. Il faut donc et il suffit que

*( — j se réduise à ^(^^) = ^(^)' c'est-à-dire soit quelque

racine de l'équation (i i).

Plus généralement, les racines communes aux équations semblables en nombre quelconque

(la) M"»« = i, u'"»=i, w'»3=r, ...,

sont celles de l'équation

(i3) Mrf=i,

où d est le plus grand commun diviseur de tous les degrés /Wi, m^j m^j • • • .

Si en particulier ces derniers nombres n'ont aucun diviseur commun >i^les équations (12) n'ont d'autre racine commune que I, racine unique appartenant à l'équation (i3).