En appelant U la valeur acquise en X au bout d^un
chemin donné, par quelque détermination u de x""^ et U^=*=*^ ce qu!elle devient par V adjonction au chemin considéré de k anneaux directs ou rétrogrades tracés autour de V origine O^, on a
où a désigne la racine principale directe m'^'"* de l'unité (113).
La relation (4) combinée avec les propriétés de la fonction A (88) donne immédiatement
or <^ ( — ) est précisément ce que nous avons appelé la racine principale directe /n*'"* de Tunité.
120. Les valeurs finales en X, de la détermination u, sont ainsi les termes de la progression géométrique de raison a"
Cette suite ne contient naturellement que des racines de l'équation numérique (i); mais elle n'en renferme de distinctes qu'en nombre évidemment égal à l'exposant auquel appartient a" considérée comme racine m^^"^^ de l'unité, c'est-à-dire au quotient ^> rf désignant le plus grand commun diviseur (pris positi-
vement) des entiers /n, n (111).
114 DEUXIÈME PARTIE. — FONCTIONS d'UNE SEULE VARIABLE.
Si donc n est divisible par m, cas où Von a rf = /?i, -j = i ,
tous les termes de la progression (8) sont égaux à U.
Dans Vautre cas extrême où m, n sont premiers entre eux,
on a d^=\ et -7 =^ m] la suite (8) contient m termes distincts,
et, par conséquent, la totalité des racines de V équation (i).
Entre le cas où /w, n sont premiers entre eux et celui où leur plus grand commun diviseur est > i , il existe ainsi une différence essentielle. Dans le premier, la progression (8) renferme toutes les racines de l'équation (i)^ ainsi donc un chemin tracé convenablement de Xq à H. permettra toujours, quel qu^ait été le choix de Uq, d^ obtenir en IL^pour la valeur finale de u, telle racine qu!on voudra de cette équation numérique.
Dans l'autre cas au contraire, et quel que soit le chemin suivi, mais bien entendu en partant toujours de la même valeur initiale Wqj ^^ n^ obtiendra jamais pour valeur finale de uen\
que /w'= -T racines distinctes de V équation {i). Ce sont évidemment les m' racines de Téquation de degré sous-multiple
121. Le second des deux cas ci-dessus peut être rattaché au premier, au moyen d^une décomposition connexe du premier membre de Téquation (3) en d facteurs rationnels. Il y a grand intérêt à le remarquer.
En appelant »o bj, . . ., 8^ les d racines rf**"**' de Punité, on a les rf — I égalités
Sbi = Sbi Bjt = 2«i »j 83 = . , . = 0,
parce que les degrés des termes généraux de ces sommes sont 1,2, 3, . . . , d — I, partant non multiples de d (114); on a en outre
81 8,... 8rf = (—!)<'-* (116).
On en conclut immédiatement Tidentité
