CHAPITRE m. ^ FONCnON RADICALE SIMPLE

OÙ rJ représente le quotient ^> et en vertu de laquelle Féquation

fondamentale (3) se décompose en les d autres de même forme (sauf les coeflicients constants 80 • • •? ^d dont la présence est indifférente)

Dans toutes ces équations les exposants de x^ u sont maintenant premiers entre eux, et chacune d'elles rentre dans le premier cas. Si donc i/o est une racine de

cas auquel U est nécessairement racine de

les chemins tracés de*^o à X feront atteindre à u les diverses racines de cette même équation numérique

à Texclusion de toutes autres valeurs finales.

122. Si, après avoir rangé dans quelque ordre déterminé les m racines de Téquation numérique (2) et les avoir prises pour valeurs initiales des racines variables de Féquation (3), on calcule, sur un même chemin, leurs valeurs finales en X, on obtiendra évidemment les m racines de Féquation numérique (i)

(9) U, U', ..., U('«-iJ

rangées aussi dans un ordre déterminé. Cela posé, les quantités (9) se partagent en d groupes de m' chacun

, , ; «13, aï+'^U, , a^+im'-i)d\]

( arf-*U, arf-»+<'U, , a^-i+im'-Ddu^

dans chacun desquels, si Von modifie arbitrairement le tracé

116 DEUXIÈME PARTIE. — FONCTIONS D'UNB SEULE YARUBLE.

du chemin sans changer Vordre des valeurs initiales, les racines qui le composent éprouvent une simple permutation circulaire.

Supposons que la déformation du chemin ëquivaille à Tintercalation d'un anneau direct autour de l'origine, entre deux tronçons en lesquels on le diviserait, et considérons le premier des groupes (lo).

Comme n' est premier à w', les restes de la division par /n' des

nombres

o.n', i.n', -Art', ... (m'— i)/i'

reproduisent, à l'ordre près, les nombres

Ceux de la division par m = dm' de

o, n = dn, in ^ idn' y ... {m! — i)/i

sont donc, à Tordre près,

o, rf, id, ... (m' — \)d.

Par suite, les racines de notre premier groupe peuvent être écrites, toujours à Tordre près,

(il) U, «''U, a»«U, ..., a('»'-i>«U.

Cela posé, Tintercalation de Tanneau, changeant U en a"U(119), changera respectivement ces diverses racines en

c'est-à-dire opérera une simple permutation circulaire dans la suite (ii)ï et aussi dans le premier groupe du Tableau (lo) qui est composé des mêmes éléments ; k anneaux directs y produiront la permutation circulaire équivalente à celle-ci répétée k fois; k anneaux rétrogrades y produiront évidemment la permutation circulaire inverse de celle-ci. El de même pour les autres groupes du Tableau (lo), car les éléments de chacun d'eux s'obtiennent en multipliant ceux du premier par quelque même puissance de a. Notre proposition est donc démontrée, puisque toute déformation