Une quantité telle que a, racine de l'équation

se nomme un zéro de /(a:), et l'entier correspondant m, le degré de multiplicité de cette racine ou zéro; d'où les dénominations de zéro (ou racine) simple, double, triple, . . . selon que m = i ,

Le degré de multiplicité est ainsi caractérisé par deux propriétés dont chacune entraîne l'autre : il est l'ordre de la première des dérivées successives de/{x) que le zéro n'annule pas, et il est aussi bien l'exposant de la puissance du binôme x — a qui divise/(x) en donnant un quotient olotrope et non nul en ^ == a.

Si k est -< m, a est encore un zéro def^^^{x)^ mais de degré de multiplicité m — k seulement; effectivement, pour x = a^ /^*^ {x) s'annule et toutes ses dérivées jusqu'à celle d'ordre m — A-, qui est/^'"^(ic), exclusivement.

Au contraire, le degré de multiplicité s'élève à m-{- 1 pour F{x)^ détermination de f/{x)dx qui s'annule en x =:^a; car, quel que soit A", Ft*+*^(a:) = /^*^(x).

On a quelquefois intérêt à considérer fictivement une valeur de X n'annulant pas /(a:), comme un zéro de cette fonction dont le degré de multiplicité serait = o.

4. Si f{x) est olotrope dans une aire limitée S, ses zéros numériquement distincts y sont en nombre limité, ou bien cette fonction y est identiquement nulle.

Cette proposition est un corollaire évident de celle qui a été

démontrée pour les fonctions de variables en nombre quelconque (188*).

5. Sous les mêmes conditions, f{oc) ne peut, dans Vaire S, reprendre une même valeur A qu!un nombre de fois limité, à moins de s'y réduire identiquement à cette constante.

Car la différence f{x) — A étant, comme f{x)^ ololrope dans l'aire S, s'y annule un nombre de fois limité, ou bien identiquement (4).

6. Sous les mêmes conditions, en supposant f{x) non identiquement nulle et en appelant

(3) «1, aj, ..., a

les zéros numériquement distincts que cette fonction possède dans l^aire S, en nombre essentiellement limité (4), puis

(4) f^iy ^ti •••) ^^ff

leurs degrés de multiplicité, on a la formule

(5) f{x) = (a? — aiy«i(ar — a,)'". ... (a? — a^y^gf^i^),

fg{oc) désignant quelque fonction, olotrope dans Vaire S et ni! y ayant plus aucun zéro.

Ona(l)

(6) /(^) = (ar-ai)'«i/i(^)»

où la fonction olotrope /i(^) n'a plus le zéro ûf|, mais admet tous les autres aux mêmes degrés de multiplicité. Car, en écrivant

en remarquant que le second facteur est olotrope en a^ par exemple, sans que lui, ni aucune de ses dérivées, s'y évanouisse, et en raisonnant comme au n° 2, on prouvera que pour ce produit l'ordre de la première dérivée qui ne s'y évanouit pas est le même que pour son premier facteur. On aura donc aussi

(7) /iC»') = (a? -«.)"•/, (x),