CHAPITRE I. — FONCTIONS 0L0TR0PE

f%{x) ayant, sauf «2» tous les zéros de/i {x) aux mêmes degrés de multiplicité, c'est-à-dire tous ceux de /'(^), sauf «i et a^; puis de même

I/,(a?) =(ar — a3)'">/3(a7),

A-i(^) = (ar — o^)'»f/r(ar),

o\xfg{x) est oiolrope, mais dépouillée de tout zéro.

Cela posé, il suffit de multiplier membre à membre la suite des identités (6), (7), (8), et de supprimer les facteurs communs aux deux membres, pour arriver à la relation (5) qu'il fallait établir.

7. Si /g{x) est une fonction olotrope et indéterminée, mais sans aucun zéro dans Taire S, le second membre de la formule (5) est ainsi le tjpe des fonctions qui sont olotropes dan^ l'aire S et y ont pour zéros les quantités (3) aux degrés de multiplicité (4).

A l'aide du raisonnement que nous exposerons seulement aux n®* 34 et 33 in/, pour en éviter la répétition, on prouve que cette expression ne peut se réduire identiquement à une constante non =o,à moins que Von n'ait m^ = /W2 = • • . = m g = oet que fg{x) ne se réduise à la constante dont il s'agit, et aussi que la décomposition de f{x) résultant d^ une formule analogue «(5) ne peut jamais donner que les mêmes facteurs.

7 bis. Si/(^) est olotrope en a avec

/'(a) = /'(a) = ...=/'«-»)(a) = o, /'"^a) non =0,

et si l'on attribue successivement à x deux accroissements infiniment petits b^\Xj ^iX à partir de a, la formule (i) donne

Al/ /o(a-f-Aiar) \^ix/

Par conséquent, si A|â7, I2X sont tellement choisis que la clef de leur rapport (72*) tende vers une certaine limite Ç, la clef de celui de A|/, A^/ tendra aussi vers une limite cp pour laquelle on aura toujours

car le premier facteur du second membre tend forcément vers i.

6 DEUXIÈME PARTIE. — FONCTIONS D'UNB SEULE VARUBLE.

Gela posé, si Ton a égard aux premières propriétés des tangentes aux lignes planes, ainsi qu'aux représentations graphiques de la roultiplication et de la division imaginaires (86^), on en conclura facilement que deux lignes décrites successivement par x à partir du point a {ordinaire pour chacune) et les deux lignes correspondantes décrites par la valeur de /{x) se coupent mutuellement sous des angles dont le second est égal à m fois le premier.

Cette observation est sans portée théorique, mais elle explique certaines particularités graphiques de la discussion des fonctions olotropes d'une seule variable. Comme on a /n= i, sauf en des points exceptionnels (195*), ces deux angles sont généralement égaux.

Fonctions indéfiniment olotropes.

8. Quand la fonction f(x) est olotrope dans toute l^ étendue du plan servant à la notation graphique de x, elle est certainement infinie pour quelque valeur infinie de la variable, ou sinon elle dégénère en une constante.

Comme dans la formule de Tajlor appliquée à une pareille fonction, rien ne limite ni la valeur initiale de x^ ni le module de Taccroissement (206*), /"(^r) est pour toute valeur de x développable par la formule de Maclaurin et, en conséquence, représentable par une même série entière en x

ao -4- «1 iT^-H a^x* -+-..•

de convergence illimitée.

Si donc la somme f{x) de cette série ne se réduit pas identiquement à la valeur «o qu'elle prend pour x = o, l'un au moins des autres coefficients ai, a^) ••• n'est pas nul (191*); on en conclut que f{x) est bien inflnie pour quelque valeur infinie de X (133*).

9. Dans la même hypothèse, et en appelant X une constante choisie à volonté, il arrive de trois choses Vune : ou bien Inéquation numérique en u