CHAPITRE IV. — PHASES CRITIQUES DES PONCTIONS IMPLICITES. t

précédent, donne donc quelles que soient x, U (dans le voisinage de 0,0)

F(ar, U)=U'«(oT(a?, U),

(«)F(j:, o) n'étant pas nulle quelle que soit X] d'où la relation (4) en faisant la substitution inverse U = «/ — ?(^)? ^^ ^^ appelant ^^^/{x, w) la fonction (®^F[x, u — ?(j^)]> évidemment olotrope en X = u = Oy qui pour u = o{x) se réduit à ^^^F(x, o).

Nous appellerons l'entier m le degré de multiplicité de la racine (3) de l'équation considérée (i). On peut évidemment lé regarder encore comme V exposant de la plus haute puissance de la différence u — ?(^) qui divise /(x^ u) en donnant un quotient olotrope en x= u =0j de plus non nul quelle que soit X pour u = ^{x).

133. Si r équation (i) possède, aux degrés de multiplicité (5) mi, mj, ..., nigf

les g racines

1' <p,(ar)=aiJ" -^a'^x^ -h...,

^g(x) = a^^'^x + ajf' xî -h . . . ,

olotropes et nulles en x = o, de plus toutes inégales^ c'està'dire telles que, dans les développements par la formule de Maclaurin de deux quelconques, les coefficients des termes semblables ne sont pas tous respectivement égaux ^ on a quelles que soient les valeurs de x^ u {^suffisamment voisines de 0,0) V identité

(7) /(^, m) = [m— ç),(2r)]'«.[a-^,(ar)]''«. . . . [a~cp^T)]'«, ^g>f{x, u),

^^^/{xy u) désignant une fonction olotrope en x = u = o, telle en outre que l'équation

n'admet plus aucune des racines dont il s'agit.

126 DEUXIEME PARTIE. — FONCTIONS d'UNB SEULE VARIABLE.

D'après le théorème du n^ 132, la fonction

(8) ^^^f{x, u)=/ix, w)[f^-<?i(ar)]-«.

est olotrope en x = m = o, et n'est plus nulle quelle que soit x pour u = (fi (x) ; mais, pour u = <p(^), autre racine quelconque de degré de multiplicité m du groupe (6), elle l'est avec toutes ses dérivées par rapporta ;/ jusqu'à celle d'ordre m exclusivement. Comme par hypothèse les racines Çi (^), ç(^) ne sont pas identiquement égales, on a

le premier des coefficients constants A^, A^^.i, ... n'étant pas nul; il en résulte (250% I, II)

[o(ar)— <pj(a:*)]-"»i = a?-'»t7[A^-h A^^.ta7 -h. . .]-"»!

= a?-'"i^(6o + 6ix -I-. . .),

expression qui, à cause de &o non=:o, est évidemment olotrope et non nulle pour toutes les valeurs de x en nombre illimité qui, sans être nulles, sont suffisamment voisines de zéro.

Cela posé, si dans la relation (8), et dans celles qu'on en déduit en la diflPérentiant 1,2, . . . , m fois par rapport à u, on pose u = <p(^), un raisonnement tout semblable à celui du n° 6 montre que les identités supposées

/[a?, ?(ar)]=/(o,i)[a7, ^{x)] =. . .=/(o,m-i)[ar, 9(37)]= o, entraînent

pour toutes les valeurs de x dont il s'agit, par suite identiquement, puisque celles-ci sont en nombre illimité et que ces fonctions d'une seule variable sont toutes olotropes (4). Mais il montre aussi, à cause de

pour les mêmes valeurs de x^ et de

pour toutes les mêmes valeurs de x^ sauf peut-être quelques-unes