I. Supposons d^abord que Ton ait

«j = aj =, . . = o,

c'esl-à-dire cp(jr) = o quelle que soit x, et ordonnons par rapport à 1/ le développement de/(x, u) par la formule de Maclaurin

En vertu de l'hypothèse, les coefficients de w'*, w, ..., «"*""" sont nuls quelle que soit x^ mais non celui de u"^ ; en supprimant les termes correspondants il reste donc

où, comme nous l'avons annoncé, ^^^{x, u) est une série entière en x, Uy qui pour ^^ = o se réduit à la fonction de x non identiquement nulle

IL Sinon, et cela pour les valeurs de x rendant mod<p(x) suffisamment petit, la substitution

transforme /{x, u) en F(j:r, U) fonction de x, U olotrope en :r = U = o, qui donne évidemment

L'hypothèse admise, combinée avec la conclusion de l'alinéa