CHAPITRE IV. — PHA8E8 CRITIQUES DES PONCTIONS IMPLICITES

de la série composée (14)9 qui est divisible par u^ Test forcément aussi par x^'^^'^' au moins et par suite, quel que soit R, par x^^^** au moins. On en conclut rinégalîté (i5) entraînant

("7) * = nt"'

et toutes deux subsistent après la réduction, puisque cette opération n'introduit aucun terme dissemblable à ceux existant avant elle.

L^ordination ultérieure donne donc pour coefficient de x'", une série entière en Ua ne pouvant renfermer, quel que soit /•, aucun

terme effectif de degré supérieur au plus grand entier contenu

dans —j—' Cette série se réduit donc toujours à quelque polynôme entier, ce qui a lieu en particulier pour 11^(1**) coefficient de x^*.

II. En vertu de l'hypothèse admise, on a pour toute valeur de

r indice i

«1 :r -4- . . . -f- ajt-i a:*-' -+- ux a?* — ^i(r)

A cause de la relation (7), la substitution (12) change donc/(a:, u) en

9a(^, ua) étant quelque série entière en ^, ua, et

représentant la forme analogue à (i 1), du résultat obtenu en opérant la substitution (12) dans ^^^/(^, u).

Maintenant, l'exactitude de la seconde partie de notre énoncé résulte de l'identité

que donne l'identification des termes de moindre degré en x dans chacune des expressions (1 1), (18).