OU
Lx (%1; Ta, Ci, .…., C0;
Cela posé, nous distinguerons trois cas.
1° O1 ces équations finies, aux inconnues (27) | Ti, Vo; Ci, 0 Com; sont incompatibles, on ne peut donner satisfaction simultanée aux conditions (3) et à l'équation différentielle (20); l'intégrale (5) ne peut être rendue ni maximum ni minimum (\).
(*) On rencontrerait une impossibilité de ce genre, si, en Géométrie, on cher-
2° Si les équations (26) constituent un système possible et déterminé, d’où l’on tire, par exemple,
(28) T1 — X1; Ta — X9; CAC …. Cam 10888
on ne pourra satisfaire aux équations (3) qu’en attribuant aux quantités (1), (2) les valeurs zrneariables fournies par ces dernières formules et (25), par suite, qu’en faisant nulles, quel que soit &, toutes les variations figurant dans la condition (24). Cette condition se trouve ainsi satisfaite d'elle-même; la condition générale (19) sera donc satisfaite par
Le UT, Ci... 10820: Hire LIL
non autrement, et ces déterminations rendront l’intégrale (5) maximum, Où Minimum où non, Suivant que la nature spéciale de la question comportera l’une ou l’autre de ces éventualités.
3° Si enfin les mêmes équations (26) constituent un système possible mais indéterminé, leur résolution fournira pour quelques-unes des quantités (29), q,; q,, ++, Qteys par exemple, des expressions
(29)19 = O0 RTS "+, gi 0, gi = Qa(g; ONE
où les autres
(30) Q ue RS Wq
resteront des fonctions absolument arbitraires de &, elles et par suite leurs variations. Le transport des expressions (29) dans les formules (25), puis la différentiation de celles-ci par rapport à a, puis enfin la substitution aux quantités et aux variations entrant dans la condition (24) des expressions ainsi obtenues pour elles, au moyen des indéterminées (30) et de leurs variations, met cette condition sous la forme
D (a... MaY(d'gha +... + MD ('q, ..…., Wq)(à Mg} 0.
Les À variations qui figurent ici étant tout à fait arbitraires,
chait l’arc de longueur minimum parmi ceux qui ont pour extrémités deux points donnés et pour tangentes en ces points deux droites données aussi.
