CHAPITRE V. — QUESTIONS DE MAXIMUM ET DE MINIMUM

cette équation entraîne les À suivantes

À (4 PER | Wq)= 0, CE ME 9e 22 #10) A)

dont la résolution fait connaître les valeurs que les quantités (30) doivent avoir pour a — a. Les formules (29) fournissent ensuite les valeurs correspondantes des autres quantités (27), c’est-à-dire les limites cherchées x,, x° de l'intégrale (5) et les valeurs à attribuer aux constantes C,, ..., C+» dans la formule (22) pour obtenir la fonction u(x).

On peut évidemment exécuter ce calcul de la manière plus élégante que voici. Les formules (25) et celles s’en déduisant par une différentiauion relative à a

dù DUR dv Et 0 C1 Lu. 00 Lie 1 0 l ac: 1 (1 DER 2m) ,

permettent de mettre la condition (24) sous la forme (31) 1 Ta + dbodTe + Vb10Ci +... ENbom 0Com = 0,

où n’entrent plus que les quantités (25) et leurs variations, ces dernières toujours à titre linéaire et homogène, et où, nonobstant la suppression des accolades faite désormais pour simplifier, il demeure sous-entendu qu'il ne s’agit que des valeurs de ces quanütés et de leurs variations pour &a —a. La différentiation des équations (26) faite par rapport à « donne d’autre part

0 NS OS ns ; 0 ? a au D Ta OO et DC — 0 0% 0T2 1 OCam

(37) M se qe onhre piula en dia ose. 0.9 vo elenal9 0 Sn let olutaun 1e + + + + + + : 5.010 + .. DEL ER Lx OT + I Lead a un euro le relie ele ete etats re «012 ed fe — O, 0%

équations permettant d'exprimer certaines variations en fonctions linéaires et homogènes des autres qui demeurent entièrement arbitraires. En portant donc ces expressions des premières variations dans le premier membre de la condition (31), ordonnant par rapport aux autres variations, puis égalant à zéro tous les coefficients de ces dernières, on obtiendra les équations à adjoindre au système (26) pour en tirer Les valeurs voulues des quantités (25),

dont x,, x2 puis la détermination cherchée de u(x) comme tout à l'heure.

On forme évidemment ces équations additionnelles et avec elles d’autres qui sont certainement satisfaites aussi, en associant de toutes les manières possibles Æ + 1 colonnes de coefficients de varialions dans les équations (31), (32), puis égalant à zéro les déterminants de ces associations.

IT. Dans le cas fréquent où l’on a k,= k; = m — 1, par suite K;=K:—2m—1, où l’on a aussi À£ 2m + 2, il est préférable d'opérer la détermination précédente comme 1l sui.

Les 2m formules, placées dans les » premières colonnes du Tableau (25), peuvent en général être résolues par rapport à C;, Ca, 2, Com, quelles que soient les valeurs attribuées aux 2m + 2 quantités

qui toutes ainsi restent des fonctions arbitraires de «&, sauf les conditions aux limites se réduisant ici à

! — ! = (31) Lies unis... , uUr1) ge UE UNE OS

Cette observation faite, on raisonnera à fort peu près comme à la fin de l’alinéa précédent. ;

Si £— om +, et si les équations (34) forment un système déterminé, leur simple résolution fournira les valeurs voulues des 2m + 2 inconnues (33); car l’invariabilité de celles-ci entraîne

Ori dupe OU) GNOME A = OU EEE

d’où satisfaction assurée à la condition (24). On aura ainsi, d’abord les limites de l'intégrale, puis ensuite, au moyen des 2m formules (25) considérées, les valeurs à attribuer aux constantes arbitraires dans la formule (22). Si £ 2m + 2, la différentiation des équations (34), par rapport à d; conduit aux Æ équations

9L: Sr AE ARE ol s (35) OX ou: HUGUES

etsne ee due, tn le ls e.é «en ,es 10! ‘ef 8 els ts ue o1ene elioisieln.s els Les RE

entre lesquelles et la condition (24) on éliminera le plus grand