CHAPITRE VI. — INTÉGRALES MULTIPLES RÉELLES

La somme des quantités (11) est infiniment petite; car en appelant M Ja limite supérieure assignable à la valeur numérique de f(x, y) pour toutes les valeurs de +, y répondant à des points non extérieurs à l'aire À, à une limite supérieure de — Av(x) ou À D(zx) pour toule valeur de + non extérieure à l'intervalle [xX] et de Ax <e, chacune des intégrales simples placées entre crochets dans son terme général (11) est moindre numériquement que Mu, leur différence que 2Mu, ce terme général lui-même que 2Mu(x;,,— x;) et la somme dont il s’agit que 2Mu(X — x) (237*).

Or y peut être supposée infiniment petite; car Ac(x) par exemple est de la forme d(x, Ax)Ax, où Ax < e est une quantité infiniment petite et (x, Ax) une fonction de x, Ax, à la valeur numérique de laquelle on peut assigner une limite supérieure indépendante de ces quantités dans les circonstances où nous raisonnons (200*).

La première somme a donc pour limite le second membre de la formule (9) qui se trouve ainsi démontrée.

De très légères modifications qui s’aperçoivent d’elles-mêmes suffiront à adapter ce raisonnement aux cas où les fonctions (x), P(x) ne sont pas la première décroissante, la seconde croissante, comme nous l’avons supposé.

VI. Quand le contour de l'aire À a toute autre forme, il suffit de le découper en arcs de courbes ayant chacun une même représentation analytique. Des parallèles à l’axe des y menées ensuite par les points de raccord de ces arcs contigus décomposeront cette aire en fragments de la forme considérée ci-dessus (V ); à l’aide de la formule (9) on calculera imË/f(x, y)AxAy dans chacun de ces fragments, et la somme de ces résultats partiels sera celui se rapportant à l’aire totale.

On peut évidemment opérer aussi en décomposant l'aire À par des parallèles à l’axe des æ; on a alors à calculer plusieurs intégrales doubles de la forme

L'an x

7 ke 1 fard,

y YU

où l’intégration par rapport à y est la derntèr :.

106. La nature spéciale du procédé qui permet ainsi de calculer la valeur de lim>Xf(x, y)AxAy a fait donner à cette quantité le nom d’intégrale définie double de la différentielle partielle seconde f(x, y} dx dy prise dans l'aire À, et l’a fait représenter par la notation

(12) SS f(x, y) dx dy,

à laquelle il faut, bien entendu, adjoindre mentalement la dési-

gnation des limites de cette aire.

107. Le rapport de l’intégrale double (12) prise dans une aire vartable dont tous les points sont infiniment voisins d’un point fixe (%o, Yo), à la superficie a de l’aire dont il s'agit, a f(Xo, Yo) pour limite.

Pour tous les points de l'aire infiniment petite considérée, la formule de Taylor finit effectivement par donner

FR) = (20, Yo) FEAR OMAN

X, Y désignant certaines fonctions olotropes de x, y (199*); d’où l’on tire

SS fe, y) de dy = af(to, 70) + SS(& —%0)X dx dy + ff(y 370) Y de dy.

Si l’on nomme maintenant Æ, H des limites supérieures invariables assignées aux valeurs numériques des fonctions X, Y pour toutes les combinaisons de valeurs de x, y représentées par des points intérieurs à une aire fixe dans laquelle l’aire & finisse-par rester contenue (180*) et / la distance maximum de deux points quelconques non extérieurs à cette aire variable, les deux dernières intégrales doubles sont numériquement inférieures à lEa, (Ha (103, I), et la relation précédente donne en valeur absolue

= JS S(e, y) de dy — f{&os Jo) < WE + H).

Le premier membre de cette inégalité tend donc vers zéro; puisque / est par hypothèse une quantité infiniment petite.

108. Si, en appelant p, q deux nouvelles variables indépendantes et o{(p, q), 4(p, q) deux fonctions olotropes, les

CHAPITRE VI. — INTÉGRALES MULTIPLES RÉELLES. 169 formules (13) 2=@(p,q), YJ—=1(P; 4)

donnent les coordonnées des points intérieurs à l’aire À quand on attribue à p, q des valeurs égales à celles des points tntérieurs à l’aire plane E construite dans un autre système de coordonnées rectilignes rectangulaires, on a la formule

(14): Ur, Jr dy = [SE (CP: 430 (P, 9 )4p da,

où F(p, q) représente la fonction composée f|e(p,q), (p;q)]; et Q(p, q) le déterminant différentiel

de do dp dq OU TY d ie

où enfin l'intégrale du premier membre est prise dans À et celle du second dans E. ;

(Pour fixer les idées, nous supposons que Q(p, q) reste positif dans l’aire E.)

Soient indéfiniment &, &,, &: trois points infiniment voisins les uns des autres dans l'aire E et (p, g), (p+Aip, g+Ag), (p + A2p, q + A:q) leurs coordonnées, puis 4, &,, 4», les points qui leur correspondent dans l’aire À en vertu des formules (13) Et (2,7), (x +A,x, y + Ar), (x+A:x, y + A:y) les coordonnées de ces derniers. Les points &, e,, «,, s'ils ont été notés dans un ordre convenable, sont les sommets d'un triangle ayant

pour surface } e=p À

A1p A:q ù Asp A:g |”

de même et à cause de Q(p, q) => 0, la quanuté'

Aæ Aiy |

2 A æ AV

finit par rester positive et mesure l'aire du triangle correspon-

dant [œx, |. Ensuite la formule de Taylor donne

do do Le d MTS RSR AY de MP + MA T0

RTE a? : =. Ga mr Lio Ne BYE 95 021 T7 MES

E, 1 CL 6, no désignant des quantités infiniment petites du second ordre, les premières par rapport à A,p, A,q, les dernières par rapport à A,p, A,q; d’où simplement

(15) ai 0e

où © est une série entière par rapport aux accroissements de p, q; dans chaque terme de laquelle on peut mettre en fonction un produit de trois au moins d’entre eux (distincts ou non) dont deux certainement pourvus d'indices différents.

Nommons maintenant 2, £ des quantités positives toutes deux inférieures à une quantité infiniment petite /, puis [L4i, Yi, Mo, Vo, quatre quantités variables finies dont le déterminant

M1 Va — Vs Ho — 2 ù soil positif et toujours supérieur à quelque quantilé positive invariable. En prenant