FRE ASS CO PRE PSE A

où le reste ; est une fonction olotrope de x, y à la valeur numérique de laquelle, et cela pour toutes les combinaisons de valeurs à considérer pour +, y, on peut assigner une même limite supérieure AU} tendant vers zéro pour # infini (117*). On a donc (I, 2°)

lim > fAxAy = lim=£ fi, AxAy + limEf,AxAy +... + lim£ fx; ArAy + limX25;AxAy, puis CE ON LES lim 2 fAx Ay =) “ 1 dx dy ++ [ 7 fr dx dy + lim ES $zAæ AY. x y Xe MY

parce que 1, ..., fx sont des monômes entiers en x, y (II), puis enfin

Se ART limsfaray = f 4 fidrdy + | de f2dxdy +..., + Ne > < à

parce que lim FAx Ay, numériquement inférieure à xA (103, TL), tend vers zéro pour # infini.

Maintenant, le second membre de cette relationest égal à celui de la formule (3), parce que, à l’intérieur de cercles de convergence, une série entière s'intègre terme à terme comme un simple

polynôme (275*).

IV. La formule (3) subsiste quelle que soit la fonction olo- LUC TT, y }

Car on peut décomposer le rectangle considéré À en un nombre limité d’autres analogues mais assez petits pour que, relativement à chacun d’eux, un seul développement de Taylor puisse représenter f(x, y) aussi longtemps que x, y sont les coordonnées d’un point non extérieur. Cela posé, on retrouvera la formule en question en l’écrivant pour chacun de ces rectangles partiels (HT), en ajoutant toutes les formules particulières ainsi obtenues, en réduisant leurs premiers membres par la relation de l'alinéa [(1°), en profitant enfin de la contiguïté des chemins d'intégration partiels pour réduire aussi leurs seconds membres en une seule inté-

grale double prise de x à X, de y à Y.

V. St l’aire À est limitée par les parallèles à l’axe des y, ayant pour équations: x =x,«=X(> x), par les arcs qu'elles découpent sur les lignes ayant pour équations : y =e(x), J = (x), où o(x), b(x) sont deux fonctions olotropes donnant algébriquement © (x) << (x), quelle que soit x dans l’intervalle [xX], on a

Ê (9) limsf(æ, y)aray = f ar | SÉRIE x ®(x)

En supposant, pour fixer les idées, (x) décroissante et ®(x) croissante dans l'intervalle considéré (21**), et en découpant l’aire À par des parallèles à l'axe des y répondant aux abscisses variables ... x; < x:,,<..., dont deux consécutives onbüne différence numériquement inférieure à quelque quantité positive infiniment petile €, on décomposera immédiatement le second membre de la formule (09) en une somme de termes de la forme

ri: Pt (10) À ar | TRADE, “£ PIX)

et en une autre somme de termes analogues à

tirs Cars PI) (x) (1) il dæ Le (2, 7)dy — J(æ; 272| Ki 7 P(x)) px)

La somme des quantités (10) a pour limite le premier membre de la formule (9); car (IV), (1) elle est précisément la valeur de celte expression prise dans un assemblage de rectangles contigus dont l’aire totale converge vers A (104).