CHAPITRE VI. — INTÉGRALES MULTIPLES RÉELLES

qui demeurent olotropes pour toutes les valeurs de ces huit quanutés qu'il y a lieu de considérer.

Cela posé, il est visible que l’on peut considérer E comme la limite d’une aire composée de triangles jointifs analogues à e, et par suite À comme la limite de la somme des triangles correspondants a&, jointifs aussi. On aura donc (104)

DA, y)dr dy = lim2/f(x, ya

Ga = lim>2F(p,qg)Qe+limEF(p, g)0e,

ceci à cause de la relation (16). Or, si l’on nomme M la valeur numérique maximum de F(p, g) dans l'aire E, et © celle assignable aussi pour les deux fonctions w, 6 à la fois, la relation (15) donne numériquement 0 < 20 /, puis XF(p, g)ie<2MG@/E et par suite, puisque / est infiniment petit,

MP (D g)0te 0:

La relation (18) équivaut donc à la formule (14) que nous voulions établir.

C’est en cela que consiste le changement des variables dans une intégrale double, ou bien, si on le veut, l'intégration double par

susbtitution (Cf. 334*).

109. Quand la fonction f placée sous le double signe d’intégration dépend en outre de quelques variables paramétriques x’, Y', ..., mais cela bien entendu en restant olotrope par rapport à toutes les variables, l’intégrale jouit de la même propriété relativement à x', y', ..., et elle peut étre différentiée ou intégrée comme une intégrale simple, par l'exécution des mêmes opérations sous le double signe (Cf. 231* et suiv.). Ce point, qui est évident quand il s’agit d’un monôme entier en LE — Lo, Y — Vo, € — Li, Y'— Vs ++, S'étend presque immédiatement à une série entière par rapport à ces différences, puis à un raccordement de pareilles séries quand la fonction f ne peut être représentée par un seul développement de ce genre pour toutes les valeurs des variables à considérer. Mais la facilité de la question et le désir d’abréger nous font supprimer toute indicalion plus détaillée.

110. Une intégrale double n'existe plus, et la notation (12) perd

toute signification quand les conditions essentielles sous lesquelles nous avons raisonné jusqu'ici ne sont pas toutes remplies, savoir : pour l’aire À, d’avoir une enceinte formée par des arcs dépourvus de tout point singulier, en particulier d’être limitée, pour la fonction f(x, y) à intégrer, d’être olotrope en tout point non extérieur à cette aire.

On procède alors à peu près comme nous l'avons fait pour les intégrales simples (239* er suive.) : on substitue à l'aire invariable À une aire variable A’ jouissant de la double propriété

avoir l'aire our limite véométrique, de ne plus implique d’ l À p limite g trique, d pl pliquer jamais aucune des singularités affectant celle-ci ou la fonction. S'il arrive que la valeur, variable aussi, de l’intégrale double prise

ans À’ tende vers une même limite S, de quelque manière que d A’ tend à quelq | cette aire variable ait été délimitée sous les deux conditions cidessus, cette limite S se nomme, par convention, la valeur de l’intégrale (12) prise dans l’aire À. Si non, on dit que la même intégrale est indéterminée ou tn/finte selon le cas.

Mais ce moven de rendre parfois l'existence aux intégrales M yen d lre parfois l’exist tégral doubles illusoires leur imprime aussi le caractère artificiel sur lequel nous avons insisté en parlant des intécrales simples.

Ï Fe P

Intégrales triples.

111. En transportant dans l’espace les considérations développées dans le paragraphe précédent, et en suivant une marche toute semblable, on obtient la suite de propositions que nous allons énoncer, mais dont nous laisserons au lecteur le soin de faire les faciles démonstrations.

Si f(x, y, 3) est une fonction (réelle) olotrope pour toutes les valeurs des variables qui sont les coordonnées rectilignes rectangulaires de quelque point intérieur à un volume simple W limité par un assemblage de plaques de surfaces dépourvues de points singuliers, elles et aussi leurs lignes de raccordement, st l’on représente en outre par ..., 6m, ... des fragments à dimension maximum infiniment petite provenant d'une subdivision quelconque de V, la quantité

Dates LS NÉ A ÿV, 3)9m)