CHAPITRE VI. — INTÉGRALES MULTIPLES RÉELLES

Où x, y, = sont les coordonnées d’un quelconque des points intérieurs à Vm, tend vers une limite S qui est toujours la

même (Cf. 103).

On a en outre [S] < MV,

M représentant la limite supérieure invariable qu’on peut assigner

à | f(x, y, 3)| à l’intérieur de V.

1192. On a aussi Si mo (er 2)Om)

-.., Om, --- désignant des volumes infiniment petits quelconques dont l’agglomération converge seulement vers V (topographiquement et numériquement).

D'où la formule

S=lim>/f(xr, y, z)ArAyAz (Cf. 104).

113. I. Sr le volume V est limité par des plaques jointives de surfaces cylindriques à génératrices parallèles à l’axe des 3 et par celles que leur ensemble découpe sur les deux surfaces ayant pour équations z —o(x, y), z—= D(x, y), on «a

P(a,y) S= jar ay [ 1CRÈPRS)dz; Q(x,Y)

lPintégrale double.relative à x, y étant prise dans l’aire

: A "» | 11 ? QU découpée sur le plan des xy par l’assemblage des plaques cylindriques considérées.

IT. ST le même volume est limité par des plaques jointives de surfaces quelconques et par celles que l’ensemble des mêmes surfaces découpe sur les deux plans parallèles à celui des xy qui ont. pour équations 3 —1,z:—4(>7), on a

s= [as f frmnarar

l’intégrale double relative à x, y étant prise dans l’aire variable À,, projection sur le plan des xy, de celle découpée

par l’ensemble des surfaces considérées sur le plan parallèle au même plan des xy dont tous les points ont 3 pour troisième coordonnée commune.

114. Ces propositions conduisent à deux méthodes évidentes pour calculer la quantité S dans un volume. V quelconque (Cf. 105).

Il suffira de décomposer V, additivement ou soustractivement, en volumes analogues à celui qui a été considéré dans la première, par des cylindres ayant pour génératrices des parallèles à Pun ou l’autre des trois axes, et pour directrices les lignes qui, sur l’enceinte du volume, séparent les plaques de surfaces ayant des représentations analytiques différentes.

On pourra lout aussi bien décomposer V en volumes du genre de ceux dont il s’agit dans la deuxième, au moyen de plans ménés parallèlement à l’un ou à l’autre des trois plans coordonnés par les points de concours de deux arcs ou de plusieurs ayant des représentations analytiques différentes parmi ceux limitant les plaques de surfaces dont se compose l'enceinte du volume V.

On voit ainsi que le calcul de la quantité S se décompose toujours en groupes de trois intégrations simples relatives à x, y, 2, séparément, groupes dans chacun desquels la première intégralion porte sur f(x, y, z), la deuxième et la troisième sur les résultats des précédentes.

À cause de cela, cette quantité S se nomme une intégrale définie triple et se représente par la notation

SSS f(x, y, 3) dx dy dz

accompagnée de l'indication des limites du volume à l’intérieur duquel elle doit être prise.

115. Si est un volume variable dont tous les points intérieurs sont infiniment voisins d’un point fixe donné (x, Yo; Zo), On a, en prenant l'intégrale triple dans ce volume,

in LS St y, 5) de dy ds

= (Lo; Yo 20) CT 107