PATES R PE

Celà posé, on constatera immédiatement que æ!(° est intérieur à la couronne [r;R;{|, que toute racine x de l'équation æ”—1# reste intérieure à la couronne [r;R;] aussi longtemps que # ne sort pas de la couronne [r4R,|, et que dans cette dernière couronne par suite, puisque f(x) — max! ne peut s’y évanouir, la racine x qui se réduit à æ'°) pour { — 1) reste fonction localement olotrope de €. Une racine de l’équation numérique (3) sera donc fournie par la valeur finale de cette fonction implicite calculée sur un chemun (à côtés suffisamment petits) tracé arbitrairement de 4, à a, dans l’intérieur de la couronne [r,R;]. (Au fond cette démonstration ne diffère pas de celle du n° 106**; j'y reviens toutefois pour mieux montrer qu’elle n’est encore qu’un corollaire très simple de la théorie générale des fonctions implicites.)

Quand a est une quantité positive, on peut prendre x(0)=1 d’où 4%)— 1, el cheminer exclusivement sur la partie positive de l’axe des quantités réelles; tout étant réel dans les séries à employer, la racine trouvée ainsi pour l'équation (3) ne peut manquer de l'être aussi, et il est évident qu’elle est positive si m est impair, ou accompagnée d’une racine égale et de signe contraire si m est pair.

192. Si dans une aire limitée Sx, ainsi que sur son contour CO,

la fonction f(x) est olotrope (sans dégénérer en une constante), et si x) désigne une valeur quelconque de x intérieure à cette aire, on peut assigner sur le contour C quelque valeur X de x faisant naître l'inégalité

(4) mod /f(X)> mod/f(xt0).

I. Supposant d’abord, comme dans l’alinéa IT du n° 121 dont nous conserverons les notations, que f(x) ne s’évanouit mi à l'intérieur de S4, n1 sur le contour OC, nous poserons

Re æ(0)) —\ti0),

et nous appellerons {, une valeur de #, dont le module surpasse celui de 4), et qui soit assez voisine de cette dernière quantité pour que l’équation numérique

J(Z)= to

offre une racine x, intérieure à l’aire S, (loc. cit.). On aura ainsi f(Xo)— to et par suite

mod f(æo)— mod f(x) = mod to — mod > o.

Appelant ensuite & une quantité positive remplissant les condi-

tions

(99 B£0, B(8 + Ph)< mod/f(xo)— mod/f(x(0)), puis

deux autres quantités de ce genre, dont la première jouisse relativement à & de la propriété mentionnée au lieu cité, nous tracerons dans le plan O,; servant à la notation graphique de la variable é un chemin indéfini

(73 lo, 1, La, ..., di, sous les deux conditions mod (é;+1— l;)£ 9, (8) mod t;+1—- modé; > q' (algébriquement),

dont l’inégalilé (6) assure évidemment la compatibilité.

D'après ce que nous avons vu, l’équation

offrira, pour les valeurs (7) attribuées successivement à #, des racines

(10) 0e RE OR CRANP RER À AE TETE RER pour lesquelles on aura (11) mod(æv;r1— x;)<

aussi longtemps que x; ne sortira pas de Sx.

Mais on trouvera certainement pour l'indice z une valeur I telle, que Zo, &1, .., ©, n'étant pas extérieures à cette aire, rt tombe au dehors. Car s1 les termes de la suite (10) n’en sortaient jamais, et si l’on représentait par M la limite supérieure assignable à mod/(x) dans cette aire comme sur son contour (180*), par 3 quelque entier supérieur à M : 4/, les inégalités (8) conduiraient à

mod/f(æ;) — modés = modéo+(modé;— modés)+...

+ (modé, = modés1)> Jg > M,

tandis que l’on a, au contraire, mod/f(x,;)<M, puisque x, est supposée non extérieure à Sy.

Comme enfin le point extérieur x,,, n’est séparé du point intérieur æ, que par la distance mod(x;,, — x,), laquelle est <6 d’après les inégalités (11), on peut (cela même d’une infinité de manières) marquer sur le contour C lui-même quelque point X donnant aussi

mod(X — x) < mod(xy+1 — 21) < 6.

Cela posé, le point X remplit la condition voulue (4); car, à cause de l’inégalité précédente et de (5),on a

mod[f(X)— f(xi)]< mod(X — x1)[ 0 + D mod(X — x;)] (124, 1) <b(O + PÉ)< mod/f(ro)— mod/f(x(0),

d’où numériquement

mod f(X)— mod f(æ1) < mod [ f(X) — f(ær)] < mod f(xo) — mod f(x (0/),

186 TROISIÈME PARTIE. — QUESTIONS ANALYTIQUES CLASSIQUES. puis en définitive

mod f(X)— mod f(æt(0)) = [mod f(æ5) — mod /f(x0))]+ [mod f(x) — mod /f(æo)| +... + [mod f(æi) — mod/f(x1)] + [mod/f(X) — mod/(x)]>0,

parce que toutes les différences entre crochets, sauf la dernière, sont des quantités positives, et que la valeur numérique de celle-ci est inférieure à la première.

II. Supposant en second lieu que f’(x) ne s’évanouisse pas pour æ—x(0), mais s’annule pour quelques valeurs de æ non extérieures à l’aire S,, nous appellerons

112) RE ee

ces zéros qui sont en nombre essentiellement limité (4**) et nous poserons

(13) . de MP OROIESENNS

De ces points (13) pris pour centres, nous décrirons dans le plan O, des cercles