ADDITION IT

121. Si, dans l'édification des principes essentiels de la théorie générale des fonctions, le lemme de Cauchy mis sous la forme que je lui ai donnée au n° 183* peut être remplacé par la proposition beaucoup plus simple qu'on vient de trouver au n° 119, il n’en est pas moins indispensable dans d’autres circonstances fort importantes aussi, par exemple pour les démonstralions des n% 133*, 201*, 273* et suiv. (où l’on remarquera que la considération des quantités imaginaires est inévitable). Mais, une fois établis de cette autre manière, ces principes fournissent pour le lemme dont il s’agit une démonstration très naturelle que je vais exposer, en commençant par rappeler plusieurs points d'utilité générale sur lesquels j'aurai à m'appuyer.

I. St une fonction d’une seule variable f(x) est olotrope, avec l’olomètre à, dans une aire limitée S, et sur son contour, on peul assigner trois constantes posilives d <T 0, O, D telles que, pour toute valeur de x non extérieure à S,4 et pour toute valeur de l’accroissement h dont le module n est T0, on ait

(1) mod[ f(x + h)— f(x)] <n(9°+ Pr).

Aussi longtemps que x n’est pas extérieure à l’aire en question et que n ne surpasse pas 0’, les hypothèses admises permettent d'appliquer la formule de Taylor et d'écrire

f(æ+h)—f(x)= A[f(x)+ho(x, h)],

d’assigner ensuite à modo(x, h) une limite supérieure ® indépendante de x, k (200*), puis à mod/f’(x) une limite supérieure 6 de même genre (180*).

Cela fait, la relation précédente conduit immédiatement à l’iné-

galité (1).

IT. Sous la même hypothèse accompagnée en outre par la condition pour f(x) de ne s'évanouir ni à l’intérieur de l’aire Sx, nt sur son contour, et en appelant x(% une valeur

particulière attribuée arbitrairement à x non en dehors deS;, posant

f(æ®)= 10), puis appelant t une aüûtre variable, l’équation (2) J(x)=t

résolue par rapport à x fournit une fonction de t, prenant la valeur x) pour t = 1%), demeurant en outre olotrope [| localement (175*, IV), mais avec un olomètre restant au moins égal à quelque quantité positive invariable]| aussi longtemps que t peut varier par cheminement sans entrainer la valeur de x au dehors de Sx.

Quelle que soit x; dans les conditions qui viennent d’étre imposées à x), eten posant d’une part f(xi) = ti, en appelant d'autre part une constante positive de petitesse arbitraire, on peut assigner une autre constante positive 4 telle que la même équation (2) offre, pour toute valeur de t rendant

mod(t—t;)zg, une racine au moins donnant mod(æ— x;)<k.

Le premier point n’est que le cas le plus simple de la théorie générale des fonctions implicites (301*), pour l'édification de

laquelle la proposition du n° 119 peut être substituée au lemme de Cauchy.

L’équivalent du dernier point est établi au n° 11**, IIT, où le

raisonnement ne s’appuie toujours nu sur la théorie générale des fonctions implicites.

IT. Si m et a désignent un entier positif et une quantité

quelconque, l'équation numérique en x, (3) AE

offre toujours quelque racine pouvant être supposée positive quand a est de cette nature.

Les considérations précédentes (IT) procurent une démonstration bien facile. Pour la fonction f(x), on prendra le monôme entier x”; dans le plan O,; servant à la notation graphique de la variable £, on délimitera une couronne [reRe] par deux circonférences ayant l’origine O; pour centre commun et dont les rayons r, < KR; comprennent entre eux moda et mod #0) à la fois; pour l'aire S, on prendra une couronne limitée par deux circonférences décrites de l’origine O, prise pour centre commun, avec des rayons 7x, Rx donnant