IL. Supposons enfin f'(æ(0) = o

1° Quand f(x) — 0, 1l suffira de prendre à l'intérieur de Sz un point quelconque x(°) rendant à la fois f(x) Zoo, f'(x0)) Lo, puis de chercher comme ci-dessus (Il) un point X du contour GC donnant modf(X) > mod/f(x(°), à plus forte raison mod/(X)>0>mod/f(x(),

2° Quand f(x{°) Z 0, la formule de Taylor donnera

JOEL R)= J(20)) + au AV + auts AUTI oùL>I, 4/0; on prendra quelque racine H de l’équation

FC) a 2

Av = (121, IT),

et, en appelant / une quantité positive infiniment petite, on fera À — H 7, d'où

(16) (a + H1)= f(x ®) li lfi+ e(2)];,

si l’on représente par e({) l'expression infiniment petite

&u,+1 &uy,+2 \ H l —— Ü

ay ay

Maintenant, on peut évidemment assigner à / une valeur I Zo telle, que la quantité x(0) — 310) HI(0) soit intérieure à S>, que l’on ait en outre

fxO)= f'(xO + HI0)Z0, mode(lV)£i, telle par suite que la relation (16) donne

modf(x0) > mod/(æ0)} 1+ 10 [1— mode(l®)]} > mod/f(z).

Cette valeur x(°? de x ayant été une fois obtenue, on poursuivra le raisonnement comme ci-dessus (1°).

123. Actuellement, nous pouvons passer au lemme de Cauchy (182*) ou plutôt à la proposition du n° 130* qui en est une forme tant soit peu différente et qui, elle-même, se déduit immédiatement de son cas le plus simple comportant la considération d’une seule variable (Zac. cit., IIT).

Dans la série entière (17) JT) = Go + GT +... + aGpTl +. + GR TEEN

admettant un rayon de convergence R>>0, nommons a» le module de a» coefficient du terme général, r une quantité positive quelconque LR, et chotsissons à volonté le terme a;x? dont le module conserve la valeur invariable a,rP pour toutes celles de x ayant r pour module commun. Si la série contient un terme effectif d'indice < p, quelqu'une X de ces dernières valeurs de x procurera certainement l'inégalité

(18) mod/f(X)>aàprP.

1. Pour p = 0, la chose est renfermée dans le théorème précédent (122). Car f(x) est alors une fonction olotrope sur et au dedans de la circonférence [r] ayant æ —0o pour centre avec r pour rayon (140*); elle ne dégénère pas en une constante; la valeur x(%) — o est intérieure à cette aire et l’on ya

Enfin en tout point de son contour on a modæx = r.

11. Pour p pair et — 25, elle est vraie si elle a été démontrée

pour p 5.

Considérons l'expression

| Fo(a?) = 5 [f(x) + f(—z)]

(19) l = A+ AL + AL +... .+ dm L?0 +...,

et supposons d’abord que les coefficients dontles indices sont £2w

soient tous nuls. On ne peut avoir (20) Ca) —f(e)] = ar + a3r8 +... —0

en tous les points de la circonférence [7]; car autrement cette différence, olotrope aussi, serait identiquement nulle (4**) d’où a =a;=...—=0 aussi (134*), et, contrairement à l'hypothèse, la série (17) ne contiendrait aucun terme effectif d'indice < 25. Attribuant donc à x quelque valeur X de module — 7:, n’annulant pas la somme de la série (20), c’est-à-dire pour laquelle on ail f(X)<f(— X), puis appelant X celle des deux quantités X, — X qui donne mod/f(X) non < mod f(— X), la relation (19)

que nous supposons être L LPC) + f(— 2) = &9 25 conduira évidemment à :

modf(X) >21mod[ f(X)+ f(—X)] > mn 725.

Supposons enfin que les coefficients &@o, @s, ..., G2w-0) G>m42, --. ne soient pas tous nuls. La série entière en

Fit) = a+at+ at +... + Gmtlo +...

contiendra un terme effectif de degré <w, et comme elle admet R? pour rayon de convergence, comme on a r?< R?, comme l'exactitude du point en question est admise pour la valeur 5 de l’exposant p, quelque valeur T de {, ayant 7? pour

En appelant enfin X une racine de l’équation