WA

PAT = A+ AL? +... + Aory+1 220 + ...,

et recommençant presque textuellement Île raisonnement cidessus (IT).

IV. Ælle est donc générale. Car elle est vraie pour p = 0 (1) et, de là, elle s'étend à la valeur 1 = 2 < 0 rdercettexpe” sant ([I1), puis aux valeurs 2 — 2 X 1 (11), 3 = 2 x à + 1 (HE),

puis aux valeurs LE IT D 2 00 OS Des 7 2200 RS

puis aux valeurs 8, 9, ..., 14, 15, et ainsi de suite.

124. Une démonstration du lemme de Cauchy que j'estimerais parfaite consisterait à étendre à toute valeur de l'indice p celle qui nous a permis de traiter si directement le cas où p =o; mais je n'y ai pas réussi. La précédente à néanmoins sur toutes les autres l’avantage de comporter, au lieu d’artifices détournés, une méthode bien nette pour calculer effectivement la quanuté X figurant dans l’inégalité (18). En dehors des principes généraux, elle n’a pour appui spécial que la proposition du n° 122 ddnt on peut faire encore l'application suivante et celle du n° 126 (inf.).

Quand, au lieu d’avoir un caractère purement topographique, le contour C du n° 122 est formé par des arcs de lignes ne contenant aucun point singulier, on prouve facilement que [mod/f(x)|? est, sur chacun d’eux, une fonction olotrope de la variable auxiliaire au moyen de laquelle les coordonnées rectangulaires du point courant de cet arc peuvent être exprimées, puis, qu'on y peut assigner une valeur de æ pour laquelle la valeur de ce module n’est inférieure à aucune de celles qu’il prend sur le reste du même arc. On est alors conduit à cette propriété intéressante des fonctions olotropes : Sur le contour C il existe quelque point où la valeur de mod/f(x) surpasse toutes celles pouvant étre prises par lui à l’intérieur de l’aire que borde ce contour.

Cette autre en résulte immédiatement : quand f(x) n'a aucun zéro dans l’aire S4, il'existe encore sur son contour quelque point où mod/f(x) est inférieur à toutes les valeurs qu’il peut prendre à l’intérieur de la même aire. Car 1: f(x) est alors olotrope dans l'aire considérée (250*, IT), et, par ce qui précède, 1: f(x) prend sa valeur maximum sur le contour iui-même.

ADDITION IIL.

SUR LA NON-NULLITÉ DU DÉTERMINANT DIFFÉRENTIEL PAR RAPPORT AUX CONSTANTES ARBITRAIRES, DES INTÉGRALES GÉNÉRALES D'UN SYSTÈME D'ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES TOTALES.

195. Le point dont il s’agit a déjà été établi au n° 383*, mais. son importance me semble donner de l'intérêt à une démonstrauon toute différente qui est beaucoup plus directe. Il suffira de l’exposer dans le cas où le système immédiat (et passif) à considérer, comportant seulement deux fonctions inconnues w, # d’une seule variable indépendante x, est la forme

du d

(1) —— = U(x,u,e), RAS N'(T RUES

dx Nous représenterons toujours par

(2) Sx

(3) Su) Se

des aires où les seconds membres U(x, u, v), V(x, u, v) sont foncuions olotropes des quantités +, u, e considérées un instant comme trois variables indépendantes, par

(4) Su Sy

des aires géométriquement superposables à (3), mais construites dans des plans O, O, servant à la notation graphique de deux

nouvelles variables ü, 0, par x, une valeur initiale invariable attribuée à x à l’intérieur de l’aire (2), par

L(T,U, D), (x, UD),

enfin, les intégrales ordinaires du système (1) que précisent les conditions initiales

(5) (TE LU), (ri HUE D,