ADDITION III. — SUR LA NON-NULLITÉ DU DÉTERMINANT, ETC

et qui sont fonctions olotropes des trois variables indépendantes æ, U, V, aussi longtemps que celles-ci conservent des valeurs intérieures aux aires (2), (4), laissant en outre celles des intégrales elles-mêmes intérieures aux aires (3) (loc. cit., I). RPC Cela posé, 1l s’agit de prouver que la fonction

do db du dn (6) NORPMUEU) = Lee du dv

ne peut s’évanoutr pour aucune combinaison des valeurs de x, u, U venant d’être définies.

1. Pour ces mêmes valeurs de x, U, v, et cela quel que soit l’indice k, on a l’identité dE A

(7) IL Ua;

où Q, représente une fonction olotrope de ces trois variables.

La différentiation par rapport à x de la relation de définiion (6) donne

dv d2v dv do dudx dvdx du dy FPT DER ee AREAS (258*, V):; dx do do do d’'o du dv dudx dvdx

celles de la première équation (1) exécutées par rapport à u d’abord, à vd ensuite, après substitution de v, © à w,», conduisent à

dv do do Re TINO; 1,0) ss (0,0,1) nou du dx U (ur) du La pr du”

d25 do do

= [10,1,0) Re (0,0,1) ARE

Pat KR PA) me TU HO, dv’

en remarquant que N, U n'entrent dans la fonction composée U(zx, v, ©) que par l'intermédiaire des intégrales v, ©. Pour le premier déterminant du second membre de la relation (8), il reste

donc U:120) (>, v, o)A;

pour le second déterminant, on trouve de la même manière

V(0,0,1) (æ, U, u) AS

Fr \

ce qui ramène la relation considérée à

dA AP — U(:1,0)(x, L, ©) A + V(,0,0 (>, L, o)A —= Q, à c'est-à-dire à la forme voulue (9) pour # = 1.

En combinant maintenant cette formule avec le résultat de sa

différentiation par rapport à æ, 1l vient immédiatement

d'A do, ,, dA fé

l Q —— — O2 d'A OPR de de "x dx | FT:

a —— À + Q; = dx dx ‘

d'AWVdO, d'A E

et ainsi de suite.

Ie One A(to) Derr Car en différentiant les formules (5) par rapport à tt, puis à u, on trouve immédiatement que, pour æ — x, le déterminant (6) se

réduit à LEA