ADDITION [V

SUR LA POSSIBILITÉ DE FAIRE CROITRE SANS LIMITE LE MODULE D'UNE FONCTION INDÉFINIMENT OLOTROPE,

126. Ce point capital de la théorie des fonctions d’une seule variable a été rapporté au n° 8** avec la démonstration habituelle reposant sur le lemme de Cauchy, conçu sous la forme du n° 130", et, en outre, sur la convergence illimitée de la série de Taylor appliquée au développement d’une fonction indéfiniment olotrope (206*). Mais il est facile aussi de le rattacher seulement aux considérations des n° 119 et 121, IT, qui sont directes et au fond infiniment plus simples. À raisonner ainsi, on trouve cet autre avantage de constater qu’on peut rendre la fonction infinie en faisant suivre à la variable un chemin dont les côtés sont aussi petits qu’on le veut, chose pouvant être utile à connaître, mais que l’autre méthode laissait absolument ignorer.

Si la foncuion f(x) est olotrope en x — 0 et ne dégénère pas en une constante, son développement par la formule de Maclaurin

(1) f(æ)= a+ aix +...

contient forcément quelque terme a,;x dont le degré p est Z1 dont le coefficient à, est < 0 (191*); si, en outre, elle est indéfi-

niment olotrope, les points suivants peuvent être successivement établis.

I. En posant (2) a)= dot Mr +. Pdu-12tTi+ ro (x), la fonction o(x) est indéfiniment olotrope auss.

Dans le plan servant à la notation graphique de x, délimitons une aire 54 contenant l’origine x — o et dont tout autre point soit

de celui-ci à une distance restant toujours inférieure à l’olomètre de f(x) en x — 0. À l’intérieur de Sz, la fonction o(x) est olotrope parce que l'identité (1) y est valable et que sa combinaison avec (2) donne évidemment

(2) P(T)= Au + Aur1T + Aura T? +...

À l’extérieur de Sz, la même fonction est encore olotrope parce

qu'on peut écrire

D JT) — (Go ETES pPLyE

quotient de deux fonctions indéfiniment olotropes, dont la seconde ne s’évanouit jamais dans l’espace considéré (250*, IIT).

IT. On peut assigner quelque valeur infinie de x, pour laquelle on ait sans cesse

modw(x)2moday.

Pour cela, il suffit effectivement de tracer de l’origine prise pour centre commun, avec des rayons

R;, RANCE Re

croissant sans cesse et indéfiniment, des circonférences sur lesquelles respectivement, on déterminera des valeurs de x,

Lis Zo, Soie D RRCOINS …., sous la condition indéfinie modw(æx)2mode(o) (122)

(ici nous devons ne pas écarter l'hypothèse de l'égalité, parce que w(x) peut dégénérer en une constante). Car modx,= Ry est alors une quantité infinie, et l’inégalité précédente équivaut à modo(x,)2 moda,, à cause de la relation (3) donnant o(0)= ay.

IT. Pour les valeurs infinies de x déterminées ci-dessus (I),

f(x) est infinie.