ADDITION Ÿ

SUR UN CAS ÉTENDU DANS LEQUEL L'INTERPOLATION PERMET DE REPRÉSENTER UNE FONCTION AVEC UNE APPROXIMATION INDÉFINIE.

127. Les égalités numériques réalisées au n° 62**, pour les valeurs de æ y formant la suite (11), entre la fonction o(x) et le polynôme entier w,(x) fourni par la formule d’interpolauon finale, entrainent évidemment entre ces deux fonctions, pour d’autres valeurs de x si elles sont suffisamment voisines des précédentes, une certaine concordance qui est plus ou moins marquée suivant les circonstances. En outre, il n’est pas déraisonnable de penser qu’on rend cette concordance de plus en plus étroite pour toutes valeurs de x tombant dans l'aire S, en y prenant ces quantités (11) de plus en plus nombreuses et rapprochées, que même on peut ainsi amener le module de lPécart o(x) v,(æ) à se maintenir au-dessous de toute quantité positive donnée; d’où la possibilité éventuelle de simplifier les calculs numériques, tout en leur laissant une précision suffisante, par la substitution du polynôme v,(x) à la fonction o(x) qui, habituellement, est infiniment moins maniable.

Mais, nonobstant la confiance qui, à cet égard, a toujours dominé la pratique, ce n’est là qu’une présomption des plus vagues, et même l’événement peut la démentir d’une manière absolue (130, inf.). Il n’est donc pas inutile de consigner 1c1 le théorème suivant (129, inf.) qui détermine un cas assez vaste où le succès de l'interpolation est certain.

128. Voici d’abord une formule très simple dont j'aurai besoin.

En conservant les notations du n° 62**, on a la relation

(0 ee) entr) ue) L (—),

où le résidu doit étre étendu à