PETER MR

et æ, totalité des infinis possédés dans l’aire S par la fonction placée sous le signe £.

C’est ce que montre immédiatement la décomposition évidente du second membre en

GE ho tman

et en

ERP (æ) D(r) O0». de (=) = w(T) en) o(æ).

129. Socent (x, r), (to, T) deux circonférences décrites du même point x, pris pour centre avec des rayons quelconques r, r, et supposons que la valeur de x soit assujettie à ne pas sortir de la première, que les quantités (2) tombent toutes dans la seconde, puis enfin que o(x) soit olotrope à l’intérieur de la plus grande des deux. Pour que sous ces seules conditions le polynôme +,(x) puisse représenter ©(x) avec une approximation aussi grande qu'on le veut, ou bien, ce qui revient au méme, pour que la différence (1) tende toujours vers zéro quand n augmente indéfiniment, il faut et il suffit que la fonction considérée @(x) soit encore olotrope dans quelque circonférence de même centre x, mais de rayon supérieur à r+ot.

Nous simplifierons sensiblement l'écriture en supposant x, — 0, hypothèse à laquelle toute autre se ramènerait immédiatement par les substitutions

ME Todd; Di T0 ET;

I. Si l’on attribue à toutes les quantités (2) une même valeur t prise arbitrairement dans l’intérieur de la seconde circonférence, le polynôme o,(x) n’est évidemment plus autre chose que l’en-

semble des » premiers termes du développement de o (+ RE me t) par la série de Taylor ; et, comme la différence 9(æ)—v,(x) doit

tendre vers zéro pour » infini, celte série construite à partir de toute valeur +? de æ, tombant dans la deuxième circonférence, doit être convergente pour toute valeur de x intérieure à la première. En d’autres termes (139*), la fonction v(x) doit être olotrope dans la deuxième circonférence avec un olomètre au moins égal à r ++, distance possible de deux points intérieurs à l’une et à l’autre respectivement, et, par suite (142*), dans cette même deuxième circonférence accrue d’une zone additionnelle d’épaisseur 7 +t, c’est-à-dire à l’intérieur d’une circonférence concentrique de rayon r +2t. La condition posée est donc nécessaire.

IT. Pour prouver qu'elle est suffisante, nous écrirons DE) = Go + GC HE ENENIQ 7 DIRES

le développement de la fonction proposée par la formule de Taylor à partir de x —#xo(—o), c’est-à-dire ici par la formule de Maclaurin, et cette série admet certainement un rayon de convergence qui surpasse r + 2t, puisque, par hypothèse, v(æx) est olotrope dans la circonférence qui à 4,(— 0) pour centre avec un rayon supérieur à 7 + 21 (201*). Nous nommerons ensuite R une quantilé positive comprise entre r + 2t et quelque rayon de convergence de la série surpassant cette dernière quantité, puis M la limite supérieure que l’on peut assigner à modew(x) sur la circonférence de rayon R, concentrique à celles que nous avons considérées déjà (117*).

Cela posé, nous considérerons la série

Le)