CHAPITRE I. — INTÉGRATION INDÉFINIE DES DIFFÉRENTIELLES COURANTES

ou l’autre de ces neuf intégrations faciles

fi.dx=x+cC, f cosx dx = sinx + C, f sinx dx = — cosæ + CO,

sin? ©

fsmæcosr dr = f sinx d'cosr — C0

Cos T d sin x : sin æ = dx = : —/sinæ 0 dx = — lcosx + C, sin æ sin æ cos æ

dx dx cos?r dtang x + — nn = ltangx + C, SIN TZ COST Sin © tangæ cos æ T GE dx 2 x : = ——— = l'tang— + C, sin T SE À x 2 Sin—Cos—

dx 2 T z ) É 5,

Les considérations du n° 295** expliquent les dissemblances que présentent ces divers résultats, en dépit de l’analogie qui semble rapprocher toutes ces intégrales.

II. Soit encore à calculer (10) f[cos(aix + bi)cos(asx + ba) ...cos(axx + bx)] dx. L'application répétée de la formule

cos(a;x + b;)cos(a;æ +b;) = } {cos[(ai+ aj)x +(bi+ b;)]+ cos[(ai— aj)à +(bi—b;)]|

permet de transformer la fonction à intégrer en une expression linéaire par rapport à des cosinus de diverses fonctions linéaires de x, par suite de décomposer l'intégrale en d’autres de la forme

sin(Az + B) f cos(Az + B)dx =: À æcosB+C, si À —o.

+CG,, si À Zo,

Quand des sinus se mêlent à des cosinus dans le produit à inté-

grer, les choses se passent de la même manière à fort peu près; il

n’y à qu'à substituer généralement cos | — ALES (= de o)] à sin(ax + b).

III. L’exposant m étant supposé entier positif, l’intégrale fcos"x dx est un cas particulier de la précédente (10) et aussi bien de l'inté-

grale (6). Mais on l’obtient plus facilement encore en substituant à cos*x son développement en une fonction linéaire de cosinus

de multiples entiers de x (246**).

On traitera de la même manière l'intégrale

f sin”zx dr, ou bien on la ramènera à la précédente par la substitution de

T x ire LEURS

IV. Quand F est une composante rationnelle, l’intégrale (1v) SF(sinx, cosæ) dx,

qui comprend toutes celles où la fonction sous le signe est une fonction rationnelle des six lignes trigonométriques de x, appartient à la classe de celles qui ont été traitées généralement au n° 12. Mais quand les coefficients de F sont réels, on évite l’intrusion transitoire des imaginaires par la substitution

æ = 2 arc tangé,

d’où (12) 106 NC puis ] 2 cos x LT À.

sinT — — dr =" 7 1-L US 11:17

ce qui change l'intégrale considérée (11) en

SF 21 1 4 2 dt pets” 1+ 2) 1 + 02

Ia différentielle étant devenue rationnelle en conservant des