I. Soit d’abord à calculer (6) fsin”xcos!x dx

intégrale où m», n sont des entiers positifs, nuls, ou négatifs, et qui rentre aussi dans la forme générale (1) considérée tout à l'heure. L'intégration par parties de la différentielle écrite

cos?—-1> d'sin”+1>

(231**) Nm + I ?

donne d’abord , sin/#+1> cos?—1 ET à (= sIN2r COR dE = sin/+2% cos?—2x dx.

/ ni —I M HI

La substitution de 1 — cos? à un facteur sin?x, sous l’intégrale complémentaire, et la résolution de cette relation par rap-

port à l'intégrale cherchée qui s’est introduite une seconde fois, donne ensuite

sin”+1% cos?-1> ne

(8) f sin”x cost x dx — f sin” x cost? dx.

RER + PER mn D LEE nm + n m+n

La résolution de celle-ci par rapport à l’intégrale complémentaire, suivie de l’addition de 2 à n, donne encore

sin”+1 x cos ?+1 > Ji LL | ML.

| f sinæ costx dx — — (9) + ——— [ sin”x cos+2x dx.

TPE En adjoignant enfin! aux relations (7), (8), (9), ce qu’elles deviennent par la permutation des exposants m, n accompagnée

T . . , du changement de x en ; —#, On obtient six formules de réduc-

tion qui deviennent, il est vrai, illusoires les unes ou les autres quand mM+1 où A+1 où m+n s’évanouissent, mais dont l'emploi répété, fait tour à tour s’il y a lieu, permet toujours de ramener l’intégrale cherchée à des fonctions trigonométriques et à ce qu'elle devient quand on réduit à o ou à 1 la valeur numérique de chaque exposant. Le lecteur s’en assurera sans difficulté.

Cette réduction opérée, il ne restera plus qu’à exécuter l’une