ADO UE

d'où (231**), (242**),

; 1 EE "al Sie L°, cosæ —(1—1{}?, de me AS CPL TT,

P uis

mm—1| n—1

f sin>cos?x dx — - [t ? (1 — t)? dt, et toutes les considérations du numéro cité deviennent applicables à cette dernière.

Quand m, n sont des entiers, on se trouve toujours dans l’un ou l’autre des cas d'intégrabilité signalés à cette occasion, ce qui montre d'une autre manière la possibilité d'exprimer alors lPintégrale (6) au moyen des transcendantes inférieures.

On remarquera encore que les formules de réduction du n° 15 sont au fond celles mêmes du n° 9, transformées par la substitution inverse de (13).

17. Si la composante Fest entière, et si f(x) est un polynôme entier, l'intégrale

(t4) [= EUX, CAT, ,,,, EXT)

——— dx J(æ) est toujours exprimable au moyen de fonctions connues et de la transcendante

t (15) + dt.

Le développement du numérateur de la fonction à intégrer la résout en termes dont chacun est le produit d’une exponentielle de la forme e* par une fraction rationnelle en x, après quoi la

décomposition de ces fractions rationnelles en fractions simples réduit l'intégrale à une expression linéaire par rapport à d’autres toutes des formes

Az fe fa" dzx, + fæmeAx dr, dx, (æ— (x — a)7

où les exposants m, q sont des entiers positifs.

De ces intégrales élémentaires, les deux premières s’obtiennent immédiatement.

L'intégration par parties de la troisième donne ensuite

DM CAT.

fx" eAx dr — À Le, Fe færmn—i eAx dr;

formule dont l’application réitérée conduit à son expression. Celle de la quatrième donne enfin, sous la condition g > 1,

eix ù eAx è Cap ga 20 NOTE

cette formule ramène progressivement l'intégrale élémentaire dont il s’agit à des fonctions connues et finalement à

Ax € d?, VE

à ahs à ie t car au delà elle serait illusoire. La substitution x = 4 + À change

ensuite cette dernière en l'intégrale (15) multipliée par e**

18. Dans des cas de la nature des deux suivants, des intégrations par parties réitérées suffisent à l'achèvement des calculs, parce que la différentielle de l'intégrale complémentaire se décompose toujours en deux facteurs, l’un puissance d’une transcendante à dérivée algébrique dont l’exposant s’abaisse jusqu’à zéro, l’autre toujours algébrique et s’intégrant à vue.

I. Sim, n sont des exposants, le second entier positif, le premier quelconque, même imaginaire, on a

ætr+0TZ(æ)]" m+I RER

(6) fæn[/(æ)]" dx = fan[/(æ)}"- de,

et ainsi de suite en poursuivant jusqu’à l’annulation de l’exposant

de (x).