CHAPITRE I. — INTÉGRATION INDÉFINIE DES DIFFÉRENTIELLES COURANTES
LZ . L Ld Cette formule est illusoire pour m——1, mais à sa place on
trouve er de =[i(œy— x [EG dx.
Dans cette relation, comme dans bien d’autres circonstances, VA , , . .
l'intégrale cherchée s’est reproduite, et il suffit de la résoudre
pour avoir fLio 4 Dee, x Ho
résultat pour ainsi dire évident.
IT, On a
(19) ffarcsinx]"dxr = x[arc sinon [— [arc sinæ]?-14d>,
puis en intégrant une seconde fois par parties
D [arc sinæ ]7-1 dx = — vi = æ?[arc sinz]#"1
Vi x?
+(n—1)f[arcsinxr]"-2dx.
L'intégrale cherchée s’est reproduite, mais avec une valeur de » diminuée de 2. On peut donc poursuivre les intégrations par parties jusqu’à réduire nr à o ou à 1 dans l'intégrale complémentaire. Celle-c1 se calcule alors immédiatement et, en remontant la chaîne des formules de réduction successivement écrites, on obtient l'expression de l'intégrale cherchée.
19. Les expressions courantes renferment seulement les irrauonnelles algébriques dont les dérivées appartiennent toutes à cette même classe, avec des transcendantes ayant précisément le calcul inverse des dérivées pour origine première, les unes et les autres en mélange quelconque avec les fonctions rationnelles ; ceci explique pourquoi leur différentiation en reproduit toujours de semblables, pourquoi elle est en fait si facile.
Mais leur intégration est essentiellement aléatoire, en tant du moins qu'il s’agit de la réaliser au moyen de fonctions connues; ses résultats, son succès même, dépendent souvent de particularités en apparence infimes, et la route à suivre n'est tracée par
aucune règle ayant un vaste champ d'application. C’est un art dont les procédés, s’ils s’écartent peu des types classiques dont nous venons d'expliquer le mécanisme, ne peuvent cependant être bien enseignés que par la pratique. Nous fatiguerions donc inutilement le lecteur en nous livrant plus longtemps à des calculs de ce genre, de tous Les plus fastidieux peut-être, en dehors des cas où ils ont une utilité prochaine.
Avant de quitter ce sujet, nous devons l’inviter toutefois à retenir soigneusement cette observation générale dont les applications particulières se multiplient pour ainsi dire à chaque pas.
Toute transformation d’une intégrale indéfinie connue, en une autre qui ne l’est pas, donne l’expression de celle-ci, par sa simple exécution sur celle de la première.
Telle est l'intégration par substitution (333*) que nous avons employée plusieurs fois déjà, sur laquelle est fondée la deuxième méthode seulement indiquée pour le calcul de l'intégrale (1).
Si l’on posait —et, d'où dm— edit, ou vbien ts d’où dx — cost dt, on ferait d’un seul coup rentrer les intégrales (16), (17) dans le type (14).
Telles sont encore, quand la fonction à intégrer dépend de quelque variable paramétrique, la différentiation de l’intégrale indéfinte exécutée par rapport à ce paramètre, mais cela sous le signe [, ou bien son intégration exécutée de même (quand elle est pratiquement possible) (225*), (226*).
De la formule évidente
eax feat dx = — +C [42
on tire immédiatement, par exemple, en différentiant m fois sous
le signe f par rapport à &« considérée comme une variable paramétrique
færmeax dr — (eax, a-1) + Cr,
da 12
expression très facile à développer (255*). Etc. Nous insisterons d'autant moins sur cés méthodes particulières, qu'on en trouvera des applications dans le Chapitre suivant.
