CHAPITRE II. — CALCUL DE CERTAINES INTÉGRALES DÉFINIES. J

immédiatement la nouvelle formule

nn f dx DNA El) Te it Ge 0 SE NL ER = — … RME m1 PATRDER TN j

dont il faut toutefois vérifier l'exactitude parce que l'intégrale originaire (1) était artificielle.

À cet effet, nous appellerons +, une quantité positive quelconque et nous écrirons

Tr HT > Tr 2 a +a 13 S LT? + a 0 0 TS li ce 4 dx AL:

. y + 1 1+ ae À

Ti : , | AR k en transformant par la substitution x — 7 l'intégrale prise de x,

à co. Aucune de ces deux dernières intégrales n'étant artificielle, on peut les différentier par rapport à « en différentiant les fonctons placées sous les signes d'intégration (232*); nous avions donc le même droit pour l'intégrale originaire (1), et la formule (2) est exacte.

On l’obuendrait directement par la méthode des n°% 1 ou 4, mais le procédé ci-dessus est infiniment plus expéditif.

23. L'exemple suivant mettra en œuvre l'intégration paramétrique.

Dans la formule (5) du n° 14, nous ferons b — 1, nous écrirons — «& au lieu de &, et nous intégrerons de o à X sur l'axe des quantités réelles. Il vient ainsi

(9) OP na sinx 0 1 + a? 1 + a?

puis, en supposant désormais & réel et =>o et faisant X infini positif, à [ e—ax sinx dx — =:

(4) { sue

effectivement, l’exposant — aX de l’exponentielle e"* est infini négatif (201**, I), et la fonction qui la multiplie conserve, quelle

que soit X, puisque cette quantité est réelle, une valeur numérique A Da R…x

En intégrant maintenant, par rapport à a, de o à + sur l’axe

des quantités positives, le second membre de cette relation et la

fonction placée sous le signe d’intégration dans le premier, on trouve

(5) vi CNT = f ga — 7 (219% 0 T 0 I+ a° 93

. sin T carona fe-%sinx da — — e74# + G, et l’exponentielle e—

: er I —inférieure à 1 +

tend vers zéro pour a infini positif And æ a une valeur positive.

Mais ce résultat est précaire pour plus d’une raison : d'abord l'intégrale (4) est artificielle, et nous n’avons pas le droit incontestable de substituer, à son intégration par rapport à à, celle de la fonction de x, a, sur laquelle elle porte; ensuite cette formule (4) suppose essentiellement à > 0, et nous avons intégré au contraire à partir de «a — 0; .... Des raisonnements plus solides sont donc nécessaires pour mettre la formule (5) hors de doute.

1. L'intégrale (3) étant naturelle, et impliquant une fonction de +, a qui est indéfiniment olotrope, il est permis de l'intégrer par rapport à a en procédant sous le signe f (233*); si donc on intègre de cette manière les deux membres de la formule qui la content, en marchant sur l’axe des quantités réelles entre les limites toutes deux positives a << .b, il vient

| X ex — e—bx

sin v dr 410 ‘à — arc tangæ

x cos X + asinX + a sin X — s da, LPS