CHAPITRE IL

CALCUL DE CERTAINES INTÉGRALES DÉFINIES PAR DES MOYENS N'EXIGEANT PAS LA CONNAISSANCE DES INTÉGRALES INDÉFINIES.

Artifices divers.

20. Quand une intégrale indéfinie est exprimable au moyen de fonctions connues, le calcul de l’intégrale définie de la même différenuelle, prise entre des limites et sur un chemin quelconques, souffre pour seules difficultés celles que la discussion de ces fonctions peut offrir.

Quand il n’en est pas ainsi, on est ordinairement réduit à calculer approximativement la valeur numérique de l’intégrale définie, en recourant soit aux développements en séries exigés par le cheminement, soit à tout autre procédé plus expéditif que les circonstances suggéreraient. Mais parfois 1l arrive aussi que, pour certaines valeurs des limites, celle de l'intégrale définie peut être obtenue exactement en nombres, ou bien, si elle dépend de variables paramétriques, exprimée par des fonctions connues de ces dernières, cela par des moyens indirects qui n'exigent pas le calcul préalable de l’intégrale indéfinie, qui sont même préférables à cette méthode normale dans plus d’un cas où elle serait cependant praticable. Les artifices de ce genre sont d’une variété pour ainsi dire infinie, et nous pouvons seulement en donner des exemples choisis.

Presque toujours, les valeurs des limites qui permettent l’intervention de ces méthodes indirectes sont infinies, ou bien singulières pour la fonction à intégrer, d'où résulte pour les intégrales considérées le caractère artificiel sur lequel nous nous sommes étendu aux n° 238* et suivants. Cette remarque générale explique d'avance les anomalies présentées par beaucoup d’entre

elles, qui sont affectées de discontinuité ou d’autres singularités, relativement aux quantités variables dont elles dépendent sou-

vent (24, inf).

21. De tous ces artifices, l’un des plus simples et des plus souvent utiles consiste dans la différentiation ou l'intégration sous le signe f dont nous avons parlé aux n° 232*, 233* (Cf. 19). Comme ces opérations modifient profondément les intégrales définies sur lesquelles on les exécute, on obtient de nouvelles formules en quelque sorte à volonté; mais celles-ci ne sont que de pures inductions dans les cas très fréquents où il s’agit d’intégrales artificielles, et méme il n’est pas rare qu’elles sotent fausses (24, inf.). Car ce caractère enlève toute certitude à la possibilité d’intervertir ainsi Pordre naturel des opérations successives à exécuter sur la fonction qu'il fallait primitivement intégrer (245*). Il ne faut donc pas manquer alors de vérifier après coup leur exactitude. |

22. Voici une application de la différentiation paramétrique.

En appelant &« une quantité positive et «* la détermination positive de sa racine carrée, on a

1 Eu 2 EE = gi? 7 le: Farctang+ + G (219%**),

2H a DANSE LE ah a?

d’où, en intégrant de o à X sur l’axe des quantités réelles et adop-