CHAPITRE II. — CALCUL DE CERTAINES INTÉGRALES DÉFINIES
grer peut y prendre (237*); pour X infinie positive, elle tend donc vers zéro, et la relation (6) devient
4 PR — e—cbx :
(2) f D a ur dx = arc tang — arc tang«.
IT. Sc a est une quantité positive quelconque, l’intégrale artificielle
ax (8) JE sin æ dx c T
existe et lend vers zéro pour «a infinie.
Le premier point résulte immédiatement du lemme IL du n° 428**; car le produit de la fonction placée sous le signe f par une puissance de æ à exposant quelconque est infiniment peut pour æ infinie positive (207**).
Si l’on représente ensuite par x, X(> #4) deux quantités positives, la première invariable, la seconde infinie, on a évidemment, pour æ = x;
e—ax g ue eT7ax sinæ =
To
d’où (28**) N N
e—ax , 1 ” e—4ax se AXo— es EX sin © dx z AL TZ ————, TL To ax) r Lo
Cars)
puis, en observant que l’exposant — aX est infini négatif,
e—ax À DA) e— ax 1 æ e-ax :
Sin Z dT — [ sin © dr + sin? dx
SA 2 T A À To L—ax e— 4% sin Z dr + .
of T a To
Or le second terme de la dernière somme tend vers zéro pour & infini, et il en est de même pour le premier, intégrale naturelle d’une fonction qui, sur le chemin d'intégration, ne prend visiblement que des valeurs toutes inférieures à quelque quantité infini-
ment petite (237*).
III. Appelant ensuite x, une quantité réelle et #(x) une fonction restant olotrope, positive, en décroissant sans cesse et
indéfiniment quand æ prend à partir de x, des valeurs réelles indéfiniment croissantes, nous considérons l’intégrale définie
æ (9) e(æ)sinæ dx,
Lo prise sur l’axe des quantités réelles, et nous prouverons qu’elle existe, qu'en outre sa valeur évidemment réelle est numériquement inférieure à r o(ur) quand x, est de la forme ur, multiple entier de 7.
La foncuon à intégrer étant finie pour des valeurs infinies réelles de x puisque w(x) est infiniment petite et que sinx conserve une valeur réelle numériquement < 1, il suffit (242*, IL) de prouver la convergence de la série formée par les valeurs obtenues en intégrant successivement la même différentielle sur les segments de l’axe considéré, que découpent les points
