CHAPITRE V. — QUESTIONS DE MAXIMUM ET DE MINIMUM

soit maximum ou minimum en x —=a, i faut et il suffit que f (a), première des dérivées successives f'(a), f'(a), ... qui ne s’annule pas, soit d’ordre pair, et qu’en outre elle soit négative dans le premier cas, positive dans le second.

Car fM(a)h", première différentielle effective, doit être d’ordre pair (84, 11); et s’il en est ainsi, elle constitue une forme de degré M én 2 seulement, qui est évidemment négative ou positive selon

qu’on a fM(a)So (85).

IL. Pour qu'une fonction(olotrope) de deux variables f(x, 7) soit maximum ou minimum en x = @a, y = bd, U faut qu'on ait (9) Ja, b)= fo1(a,6)=0:.

Il suffit ensuite qu'en posant

P=fa0(a,b), Q=fut(a, bb), R—=fO(a, b),

on ait d’abord

(10) PR—Q25%o, puis (11) RE0, Re

pour le maximum, ou bien (12) #0; R>0o

pour le minimum.

Si les conditions (9) n’étaient pas remplies, la première différentelle effective serait d'ordre 1, partant impair, et il n’y aurait ni maximum ni minimum (84, Il).

Quand elles sont remplies l'inégalité (10), s’opposant à ce qu’on ait à la fois P — Q —R — 0, fixe à 2 l’ordre de la première différentielle effective. D'après les Éléments enfin, cette différentielle seconde est une forme négative si l’on a à la fois (to) et (11), positive au contraire si l’on a (10) et (12) (85).

III. La règle posée dans l'alinéa précédent (IT) s'étend facilement à une fonction de variables en nombre quelconque, parce

qu'on sait discuter toutes les formes quadratiques à coefficients

MSA. 9

réels (par exemple en les décomposant en carrés de formes linéaires). Mais nous nous bornerons à cette indication, tant il est rare que l’on ail à utiliser ces considérations.

88. Une fonction quelconque f(x, y, ...) étant donnée, il est facile à présent d’assigner les valeurs particulières des variables qui peuvent la rendre maximum ou minimum.

I. Les valeurs pouvant donner lieu à un maximum ou minimum singulier, se trouvent parmi celles pour lesquelles f(x, y, . ..) cesse d’être olotrope. La nature spéciale de cette fonction les fait connaître, et ses propriétés permettent ensuite de les discuter.

IT. Pour un maximum ou minimum ordinaire, 11 faut avant tout que la première différentielle effective soit d'ordre pair (84, Il), par suite que la différentielle totale de moindre ordre 1 (nombre impair) ne soit pas effective, c’est-à-dire que toutes les dérivées premières de f(x, y, ...)s’évanouissent numériquement. Les valeurs correspondantes de x, y, ... se trouveront ainsi parmi les solutions réelles du système complet d'équations fimes simultanées

| 000, (>, Dee à) “ die f010,..)(, ee 2) = 0;

La résolution de ces équations les fournira donc, et il ne restera plus ensuite qu’à discuter séparément chaque système de valeurs de æ, y, ... ainsi obtenu. La discussion est assez souvent épargnée par des circonstances particulières indiquant @ priori s'il y

a maximum où minimum.

89. Comme application très simple, nous chercherons les valeurs de æ rendant maximum ou minimum la fonction

où a << b sont des constantes posilives, et où il s’agit naturelle-

ment de la détermination réelle unique du radical (æ — a)’.

I. La fonction considérée ne cessant d’être olotrope que pour æ = a, seule valeur annulant la quantité soumise au radical (125**),