CHAPITRE V. — QUESTIONS DE MAXIMUM ET DE MINIMUM

un maximum où minimum singulier ne peut exister ailleurs qu’en

æ = à. Comme f(a)—=0o, que (æ— a)* est une quantité positive pour toute valeur de x -< a, et que, à cause de «a— b Lo, d’où (a—b}<o, (æ—b}) est une quantité négative pour toute valeur de æ infiniment voisine de a, il y a effectivement maximum.

II. Les valeurs de x pouvant faire naître un maximum ou minimum ordinaire sont les racines réelles de Péquation

f'(æ)=o (88, IL),

de Se J'(x)= — (æ—a) à EC 1h) (r— ee) | à

donnant par suile soit O,

ga + 20

| soit 1 =

La première racine D étant un zéro double pour f’(x) annule en mème temps D f'x) = f(x), mais non D?f'(x)— f"(x)(3**); elle ne rend donc f(x) n1 maximum ni minimum (87, 1).

L'autre racine D, étant simple pour f’(x) donne à D f'(x) = f"(x) la même valeur qu’à

J'Cæ) PR CU, rat

A b, + 3 el par suite évidemment le même signe qu’à (x — a), c’est-à-dire

celui de(b, —a)— — (b—a)>0;ilya donc minimum (loc. cét.).

90. Le fond des choses reste naturellement le même, mais le mécanisme du calcul se modifie un peu, quand il s’agit de rendre maximum où minimum une fonction implicite, par exemple la racine w de l’équation

(13) | PE ADTE0

où nous supposerons olotrope la composante KF.

Comme alors # ne peut cesser d’être olotrope que pour les valeurs correspondantes de +, u annulant F(0:1 (x, u) (307*), les valeurs de x pouvant donner lieu à un maximum ou minimum singulier devront être cherchées dans les couples de solutions des

équations numériques simultanées (13) el

FI0,1 (w,. u)=to:

Comme ensuite on a

du FU,0(x, u)

dx FOU(x, u)

du dx annuleront F(1:0(x, uw) certainement aussi; celles pouvant faire

les valeurs de + annulant et les valeurs correspondantes de &

naître un maximum ou minimum ordinaire devront donc être cherchées dans les couples de solutions des équations simultanées (13) et

Dans les deux cas, bien entendu, il faut discuter après coup chaque valeur de x ainsi obtenue. Quand F(:1)/(x, uw) s’évanouit, on a recours aux développements spéciaux des diverses déterminations de uw (145** et suio.).

Supposons, comme application, que l’équation (13) soit de la forme

(14) Ax+92Bx+C—o,

où À, B, C sont des fonctions quelconques de w. Pour tout maximum où minimum ordinaire, on aura

(15) 5 FU0)(x, u)= AT +B—0,

d’où, en retranchant de (14) cette équation multipliée par x,

(16) Br +CG=o, puis en éliminant x A B | — O, BC

équation numérique en w seulement, admettant pour racines les valeurs de cette fonction quand elle est maximum ou minimum. L’équation (15) [ou (16)] fournit ensuite les valeurs correspondantes de x

qu'il reste naturellement à discuter.