FÉES EME ED AU

de h + g variables x, y, ..., u, 6, ..., quand les valeurs de

) ) celles-ci sont assuJetties à vérifier £ équations finies données

M... ph,

Leur recherche se ramène à celle des maximums ou minimums absolus, par la substitution à u, v,... dans f(x, y, ...,u,v,...) de leurs expressions en x, y, ... tirées des équations (18); car celte fonction se change ainsi en une fonction composée de x, y, ... seulement devenues maintenant toutes indépendantes. Mais, si l’on se borne aux maximums ou minimums ordinaires, et si l’on suppose remplies toutes les conditions sous lesquelles subsiste la théorie générale des fonctions implicites (307*), on peut employer aussi une méthode spéciale dont voici l’esquisse.

En supposant que w, v. ... représentent maintenant les fonctions implicites de x, y, ... que fournit la résolution des équations (18), 1l faut d’abord égaler à zéro la dérivée première par rapport à æ de la fonction composée (17) (88, Il), ce qui donne

df df du. df dv

(9) dx "2 du dx dv dx ET

Mais la différentiation semblable des équations (18) donnant

aussi af, di du | dfi de dx du dx dv dx a (20) de FROM SRE ep dote & ORGUE dfg . dfg du dfz de MR

dx du dx AE RTS

du dv dx’ dx linéaires (19), (20) conduira à l’équation

Pélimination des g dérivées , --- entre les g + 1 équations

K21) AR REV re sus Us DT lEnO

ayant pour premier membre le déterminant différenuel, pris par rapport à æ et à w, v,..., du groupe formé par l’association de la fonction proposée (17) avec les premiers membres des équations (18); et cette équation est satisfaite par tout système des valeurs correspondantes de æ, y, ..., u, , ... donnant lieu à un maximum ou à un minimum. Des différentiations par rapport

à. y, 3, ... donneront de même | Ayu,v,..(T, Jia Us VIRE O) (22) | A u,0,..(Æ; J': », U, P, ) = 0,

Pour obtenir les seuls groupes de valeurs des 4 + g variables pouvant correspondre à un maximum ou à un minimum il suffit donc de résoudre le système complet formé par l’adjoncuon aux g équations (18) des 2 équations (21), (22). Une discussion de chaque groupe ainsi calculé indique ensuite ceux d’entre eux qui donnent réellement lieu à un maximum ou à un minimum. En pratique elle peut être fort pénible, mais en théorie elle est assez facile pour que nous puissions épargner au lecteur les

détails arides et fastidieux de son exposition générale.

92. Représentons par À, À4, À», ..., Àe les mineurs complémentaires aux éléments (quelconques) A, À,, As, ..., À; composant la première colonne du déterminant d'ordre g +1

Marne

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et affectons de l’accent o les valeurs de toutes les quantités de la