CHAPITRE V. — QUESTIONS DE MAXIMUM ET DE MINIMUM
question correspondant à un maximum ou minimum relalf. Les £
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“Hnonirént parssuité, qu'en considérant Z, y; - . +, Uy Pier, comme } + g variables toutes indépendantes, les dérivées, par rapport à w, #, ... seulement, de la fonction composée
(24) AOF + AU +... HA,
Do HoursentitoutesWpouror x) my), ..., u — ut, == 0
(2 > “Ge p( }, +...
Mais si, après avoir réalisé cette hypothèse numérique dans les équations (19), (20), on ajoute membre à membre les premières multipliées par (0, À, ..., 2%, et, si l’on tient compte des égalités (23), on trouve que la valeur correspondante de la dérivée partielle par rapport à æ de cette fonction composée s’évanouit aussi; et de même pour ses dérivées par rapport à y, 3, ....
Il en résulte (88, Il) que La fonction (24) des h + g variables MR PA. laissées toutes indépendantes, passe en général par un maximum ou minimum absolu, quand la fonction (19) des mêmes variables liées alors par les équations (18), passe par un maximum ou minimum relatif.
Onretrouverait évidemment les équations (21), (22) du maximum ou minimum relauf de la fonction (15), sous les conditions (18), en considérant À(0), A0, ..., A7? comme des constantes indéterminées, et les nant LATE les équations du maximum ou minimum absolu de la fonction composée (24) aux + g variables
toutés indépendantes Z, Yi, u, 0,1...
93. Voici une dernière observation de quelque intérêt. Nous avons vu que les équations additionnelles (21)et(22) du maximum ou minimum relatif se forment en égalant à zéro les déterminants différenuels des g + 1 fonctions f, fi, -.., g» pris par rapport à tous les groupes de variables comprenant w, ?, ... et en outre soit æ, soit y, .... Mais les déterminants différentiels des mêmes fonctions, pris par rapport à toutes les autres combinaisons g +1 à g +1 de toutes ces mêmes # + g variables, s’évanouissent en même temps, ce qui résulte des principes de la théorie générale des déterminants et de cette condition sous-entendue que le déterminant différentiel de Ja2 PARC REPÉRER TAPPOFL à ZE (d'ordre g seulement), lui, ne s’évanouit pas. Par suite, on peut dire aussi bien que les équations du maximum ou minimum relatif se forment en égalant à zéro tous les déterminants différentiels indistinctement des g + 1 fonctions
7 Ja Ja A Je:
Comme à présent rien ne les distingue les unes des autres, non plus que les variables æ, 3, ...,u,p, ..., les équations addilionnelles restent les mêmes, quelle que soit la fonction à rendre maximum ou minimum relatif, pourvu que les équations de conditions soient celles égalant les g autres fonctions à zéro ou même à des constantes quelconques.
C’est ainsi, par exemple, qu’en cherchant dans les Éléments le maximum du produit de deux quantités dont la somme est constante, ou bien le minimum de leur somme quand leur produit
est constant, on trouve l’équation additionnelle en égalant dans les deux cas leur différence à zéro.
Cas d’une intégrale définie portant sur une fonction composée différentielle de fonctions simples indéterminées.
94. Les questions du genre de celles que nous avons maintenant à traiter présentent une variété et aussi une complication qui rendraient fort pénible l'exposition de leur solution générale. Nous préférons donc expliquer la méthode à suivre sur un Lype assez simple pour qu’on puisse bien le saisir, assez vaste cependant pour que ses extensions diverses soient faciles ensuite.
