LIBRAIRE DE 8. M. LE ROI DE SUEDE ET DB NORVÈGE
8, Rue de la Sorbonne, 8
1* Supposons, en particulier, que le développement se réduise à :
a? =: a?o + «(^ — O' y = yo ^- *(< — O» ^ — ^0+- c(^— <o)-
Faisons un changement de variable indépendante et posons :
les équations précédentes deviennent
(D) x = œQ + au y z^y^ + bu z = z^ + eu
et définissent, comme on sait, une ligne droite D. Nous aurons très souvent à utiliser la signification géométrique des coefficients ; aussi je la rappelle brièvement :
^01 3/o» ^0 ^^^^ '^^ coordonnées d*un point P de la droite D ; a, ô, c, sont les coordonnées d'un point (d) pris sur la parallèle à la droite D menée par Torigine. Ces nombres a, b^ c sont dits les coefficients de direction de la droite D.
Choisissons sur D, comme direction positive, la direction de O vers (û?), et soit M le point de D correspondant à la valeur u de la variable indépendante, on a en grandeur et en signe :
PM
En particulier, si :
on a:
«a 4- fca + c> = 1, et:
u = PM.
Dans ce cas, Odest dille segment directeur delà droite D ; a, 6, c sont, appelés les cosinus directeurs de D ou bien encore ses paramètres directeurs.
Une droite étant définie géométriquement, il est clair que ses coefficients de direction ne sont déterminés qu'à un facteur constant près. Pour obtenir un système de coefficients de direction, on prendra les coordonnées d'un point situé sur la parallèle à D, passant par Torigine.
Supposons, par exemple, la droite D définie par deux points M| (^o ^4» ^i) et Mg (â?2, yj, z^), alors un système de coefficients de direction est évidemment donné par les formules :
a=zx.^ — x^, b^y^ — y^, c^z^—z^.
TANGENTE. PLAN OSCULATEUR 3
Tous les systèmes de coefficients de direction sont donnés par la formule :
2*^ Enfin, considérons encore le cas où les équations de F se réduisent à :
c'est-à-dire :
dans ce cas, la courbe F est une parabole, pourvu toutefois que les déterminants partiels du tableau :
^2, ©2, Cj,
ne soient pas tous nuls. Si tous ces déterminants sont nuls, les équations (F') définissent une droite. Je laisse au lecteur le soin de démontrer cette proposition fort simple.
§ 2. — Élant données les équations cTune courbe F, reconnaître si elle est
plane ou gauche
Soient :
les équations données. Supposons d*abord la courbe F plane, alors il existe quatre nombres A, B, C, D, tels que Tenait identiquement (quel que soit t] :
(l) Ao? + By + C^ + D =: o ;
en outre. A, B, C ne sont pas nuls tous trois. De l'identité (1) on tire en difTérenliant :
Aa?' +. B.v' -(- Cz' = 0,
Aa?'' + By" + Cz" = o,
Aa7'"-|-B/" + Cz'" = o,
et par suite :
tu
Ht
jf
Jtt
Nous pilons démontrer que cette condition nécessaire est aussi suffisante. En effet, supposons que la condition (2) soit remplie et en outre que Tun des mineurs de œ"\ y"\ z'" soit différent de zéro, soit par exemple :
yx" 7^ o.
Alors il existe des fonctions A et u de t satisfaisant à :
\x' + (xy' = z' ;
en vertu de la condition (2), ces fonctions X et u satisfont aussi à :
Diiïérentions les équations (4) et (5), nous obtenons
Xx + ^y' = o, X'œ'' + ^y = 0,
et par suite, en vertu de Vliypothèse '3),
les fonctions >, [jl se réduisent donc à des constantes:
La première des équations (4) montre alors que les fonctions a?, ?/, z, satisfont identiquement à :
js = lx-{- i3.y + V,
V désignant une nouvelle constante. La courbe F est donc plane.
Supposons maintenant que les trois mineurs de x"\ y"\ s'" soient nuls:
yz — z'y" = o,
zW'
r If II, .
xy — yx = O ;
alors on voit immédiatement que la ligne F est droite.
TANGENTE. — PLAN OSCULATEUR 5
Ainsi, dans tous les cas, la condition nécessaire et suffisante pour que la courbe F soit plane est exprimée par la relation (2).
§ 3. — Tangente
La tangente au point M est la position limite de la sécante MM', quand M' tend vers M.
Soient t et t' les valeurs de la variable indépendante, qui correspondent aux points M [x, y, z) et M' (a;', y\ z'). Nous pouvons prendre comme coefficients de direction de la sécante MM' les nombres :
et aussi:
Les limites de ces rapports sont respectivement :
dx , dy dz
di dt cU
Ces trois coefficients déterminent complètement la tangente, pourvu qu'ils ne soient pas nuls tous trois.
Supposons que ces trois nombres soient nuls et soient X, Y, Z les coordonnées d'un point situé dans le voisinage du point M :
l X = a>.\.a,{T-t)-\-a,{T-ty + ...
Il peut arriver qu'il existe une fonclion Ô de T, régulière au point M, = ç (T) = A, (T — + A2 (T — ty H- ...
et telle que l'on ait identiquement (A{, B/, C/ désignant des constantes):
X = a; + A,0 + AjO* + ...
et telle, en outre, que A,, B,, C, ne soient pas nuls tous trois; alors, en vertu de ce qui précède, les quantités A^, B,, C^ représentent les coefficients de direction de la tangente en M. Dans ce cas, le point M est dit
un point ordinaire. Tout point' non ordinaire de la courbe sera dit un point singulier.
Exemples. — L'origine est un point ordinaire des courbes
(3) a? = <«, y=t\ z=zi\
mais un point singulier de la courbe :
11 est, en effet, aisé de voir que le changement de variables indiqué :
est impossible pour les équations (3) ; au contraire, si dans les équations [±) on pose :
on tombe sur les équations :
qui mettent en évidence la proposition annoncée. On voit que la branche de courbe (2) fait partie de la courbe (1).
Remarque 1. — Revenons aux équations (i) delà courbe dans le voisinage du point M et supposons que :
â5, = 0| = C| =: 0, Cj =5^ o.
On peut, dans tous les cas, obtenir la tangente de la manière suivante. Prenons comme coefficients de direction de la sécante :
(T — if
-tf
on a :
lim
lim
On peut donc prendre comme coefficients de direction de la tangente en M les nombres 02, ôj» ^a ^"^ P^^ hypothèse, ne sont pas tous nuls.
TANGENTE. — PLAN OSCULATEUR 7
Rbiurqqb II. — Supposons la courbe (F) :
définie par ses équations cartésiennes, c'est-à-dire par les équations :
obtenues en éliminant t entre les équations (F). Dans ce cas, on obtient les coefficients de direction dx^ dy, dz de la tangente en M, en appliquant la règle de difTérentiation des fonctions implicites. Exemple. — Considérons le cercle :
Aa? + By + C^ 4" D = 0, 00^ + y^ + z^ — 'R} = o.
Les différentielles de x^ y, z^ prises par rapport à la variable t, qui fixe la position du point M (o?, y/z) sur le cercle, satisfont à :
