Acte + Brfy -f* Hdz = o, xdz + ydy -f* zdz = o

Au point M, les trois expressions :

B-J- — Cy, Ca? — A?', Ay — Ba;,

ne sont pas nulles (si elles Tétaient, le cercle se réduirait à un point de la sphère) ; donc on peut les prendre pour coefficients de direction de la tangente. Celle-ci a pour équations :

X=a? + w(B-y — Cy), Y = y-l-M(Ca? — A^), Z = z + M(Ay-.Ba?).

§ 4. — Plan osculateur Soit M un point quelconque de la courbe :

(r) ^ = /-Wi y = ^(0> ^ = h{t),

et soit MT la tangente en ce point. On appelle plan osculateur en M la position limite du plan passant par MT et par un second point M' de la courbe, quand le point M' tend vers le point M. Pour trouver cette limite, formons Téquation du plan MTM'. Désignons par a?', y, z' les dérivées de a?, y, z, prises par rapporta t et par x^^ y^, z^ les coordon-

nées du point M'. Le plan TMM' est alors représenté par :

avec:

A(X — a?) -f B{Y — y) + C (Z — ir) = o,

(2) Aaî'-f By' + Cy = o, A(a;, -a;)4-B(y,-y) + C(^,-*) = o,

Mais:

et y^ et z^ ont des expressions analogues ; donc le système (2) peut prendre la forme :

Ax' + By' + C^' = o,

Ao?' + By' + Cy + I (Au?*' + B^r + C^ +.•• = o,

ou encore :

Aa?' + By' + C^' = o,

I (A^^^^JSîT + Cz^ + 1 (A^-'^ + B/' + Cz"! + ... = 0.

Donc le plan TMM' a une limite bien déterminée, définie par :

. ) A{X-a;)4-B(Y-y)H-C(Z-*)=o, ^' \ Aa?' + By' J- O' = o, Aaf + Bf -^ Cz' = o.

f'ir

pourvu toutefois que les expressions yV — z'y", z'x* — x'z'\ x'y' — yod ne soient pas toutes nulles. L'équation du plan osculateur est donc :

af

Remarquons que les trois binômes y V — z'\/* ^z^x" — x'z^^xy" — y* ai ne peuvent être nuls en tout point M de la ligne F, sans quoi celle-ci se réduirait à une ligne droite.

Remarque. — Les équations (3) mettent en évidence la propriété suivante du plan osculateur :

<( Le plan osculateur en M peut être considéré comme la position « limite du plan, passant par MT et parallèle à la tangente en M', quand « le point M' tend vers le point M. »

TANGENTE. — PLAN OSCULATEUR .

§ 5. — Position du plan osculateur par rapport à la courbe

Prenons pour origine un point ordinaire O de la courbe P, pour axe des œ la tangente au point O, et pour plan des xy le plan osculateur au point O. Les équations de F ont la forme :

Comme Forigine est un point ordinaire, nous pouvons supposer que a^^b^^ c^ ne sont pas nuls tous trois. D'ailleurs, Taxe des x est tangent à la courbe; donc :

Ô| rz: o, C| = O, a^ ^ 0.

Exprimons que le plan osculateur à Torigine:

se confond avec le plan des xj/, nous obtenons :

a^C2 = o, et comme, par hypothèse :

«4 =?^ 0, la condition précédente devient:

Les équations de F deviennent alors :

ix = a^t'\- a^i^ -J- a^t^ + ...

Si e est un nombre positif suffisamment petit et si :

chacun des seconds membres a le signe du premier terme. — Supposons :

C3 ^ o, par exemple : Cj > 0.

Alors pour :

on a respectivement :

On voit donc que le plan osculateur traverse la courbe à Forigine.

Cette conclusion subsiste si c^ est nul, pourvu que le premier coeffi> oient de z, ne s^annulant pas, soit d'ordre impair.

Remarque. — Si la courbe F se réduit à une courbe plane, le plan osculateur en un point quelconque se confond avec le plan de la courbe.