jEdu = ds cos to, -f- \Gdv -.= ds sin (o
Par suite, les équations (7) donnent :
\ +VKC0Sa>=^,
( +V^sma)=^-
Remarque IV. — L'équation différentielle des lignes géodésiques correspondant à la famille de parallèles :
est, si on ne précise pas la variable indépendante,
Edu + Fdv Fdu + Gdv
De^ "^ ^± '
du Dt?
du dv
Posons :
^v du dr du
le système des équations (4) et (9), dont dépend la redherche des parai* lèles et des géodésiques, prend la forme simple :
H(p.,)^ G»'-^Fp^ + E?' = l.
du
dv
Dg
§8. — Théorème de Jacobi. Applications
L'application de la méthode précédente peut être simplifiée au moyen du théorème suivant, qui est un cas particulier d*un théorème beaucoup plus général dû à Jacobi.
Théorèmb. — « Si la fonction 9 (u, r, a) dépendant d'un paramètre « variable (a) (non additif) satisfait à Téquation :
« Téquation des lignes géodésiques de la surface est :
« b désignant un nouveau paramètre. »
En effet, cherchons les géodésiques qui correspondent à 6 (u, v, a) pour une valeur quelconque de a. 11 suffît, pour cela, de remplacer 9 par
cette valeur dans :
du dv^
et d'intégrer. Or, par hypothèse, Téquation (1) devient une identité en u, r, a, si Ton y remplace la fonction inconnue par 6 (m, r, a) ; donc on a, en diiïérenciant par rapport à a :
m ^p ,m'bq
L'équation (2) équivaut donc à :
c*e9trà-dire :
T^ rfu + c^^ rfr = 0, ùa oa
ou, enfin,
'^uba drda
oa
Pour une valeur déterminée de a, cette équation définit les géodésiques orthogonales aux courbes :
6 (w, r, a) = const.
Si Ton fait varier a et 6 dans Téquation (3), on obtient une famille de géodésiques, dépendant essentiellement de deux paramètres, c'est-àdire la famille complète de géodésiques.
Applications. — !• Lignes géodésiques d'une surface de révolution. — Nous avons vu que, par un choix convenable des coordonnées (p. 107), le [ds'^) d'une surface quelconque de révolution peut prendre la forme :
ds^ = du^ + r*c?t?*, r = ^ [u).
L'équation aux dérivées partielles (1) devient:
« "ity+m-"-
Pour obtenir une fonction 6 (u, v, a) dépendant d'un paramètre a et
186 CHAPITRE YIII
gatisfaisant à l'équation (4), il suffit de résoudre le système :
' OU r
ce qui donne évidemment :
mais:
donc Téquation :
= ûî? -f- / ^ ^w î
est celle des géodésiques. Nous retrouvons ainsi Téquation déjà obtenue (p. 174).
Les formules (8) du paragraphe précédent donnent ici :
r Sm oy zrz :-- r= g,
résultat également obtenu plus haut.
2* Tliéorème de LiouviUe. — Supposons maintenant que le [ds^) de la surface ait la forme suivante :
rf«a = (U — \) (d7i^ + dv=^).
Dans ce cas, on peut, comme Ta montré Liouville, obtenir les géodésiques do la surface au moyen de quadratures.
En effet, Téquation aux dérivées partielles se réduit ici à :
On obtient une fonction H (u, v, a) satisfaisant à cette équation en résolvant le système :
i^ï-"— (Ey=«-v.
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DES LIGNES GÉODÉSIQUES 187 ce qui donne :
6 =r fy^U — adu +Na — Wdv;
Téquation des géodésiques de la surface est donc :
^"^^J vlTT^ +J Va — V "^ *• Remarque. — Les formules (81 du paragraphe précédent donnent ici :
Vu — V coso) — Vu — a, Vu — V sin <i> = v^a — Vî
de là on déduit la formule suivante, également due à Liouville :
U sin'tt) -}- V cos^o) = a.
Ainsi, en tous les points d'une géodésique quelconque de la surface la fonction (U sin^io -|- V cos'o)) conserve la même valeur.
