KG — F

A chaque solution de cette équation correspond une congruence de droites, définie par les équations (1) et (2), et une famille de géodésiques, définie (p. lia) par :

„ du , ^ dv <)6

as cfs dît

F — -4- G ^-*^ — - — • c& "•" ds <)i?

[je problème de la recherche des lignes géodésiques est donc ramené à rinlégration de l'équation aux dérivées partielles (4).

Rr.MAnQUR I. — Soit 6 une solution de Téquation (4); on peut se demander la signification géométrique des courbes définies par :

(fi)

Soient à cet effet X' et (l' les paramètres directeurs (superficiels) de la tangente en un point («, v) de l'une de ces courbes, on a évidemment :

et, par suite, en tenant compte des équations (1) et (2),

(EX + F|jl) V +(FX + G(x) |x' = o.

On voit donc (p. Ii4) que les courbes (6) et la famille de géodésiques, correspondant à la solution 6, forment un réseau orthogonal.

La méthode que nous venons d'indiquer repose donc sur la recherche directe des parallèles de la surface.

Remahqub II. — Considérons encore la solution et la famille de géodésiqaes correspondante. Les surfaces S, normales aux tangentes de ces géodésiques, sont dénnies (p. 180) par :

OÙ K est une constante et où X et a sont données par les équations (l)et(2).

Remarque III. — Supposons les lignes coordonnées rectangulaires,

les équations (o) deviennent alors :

Soit MT la tangente en un point M d'une géodésique définie par ces équations ; posons :

o) = MU, MT.

On a vu (p. 106] que les projections du segment ds sur MU et MV sont dSi et ds.2 ; donc :