Considérons maintenant l'équation plus générale

o:' — l — 0, ^ désignant un paramètre, qui peut être une quantité complexe de la forme a -+- bi. Cette équation traduit analytiquemeni, ainsi que nous le verrons, aussi bienle problème de la multiplication du cube que celui de la trisection d'un angle quelconque .

11 s'agit de reconnaître si cette équation est irréductible,

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i DU CUBE ET TRISECTIOM DK L ANGLE

c"est-à-dire si l'une de ses racines se présente sous la forme d'une fonction rationnelle de )..

Remarquons en passant que l'irrêductibililé d'une expression dépend en général des grandeurs qu'on suppose connues. Dans l'équation a;' — 2 = 0, il s'agit de grandeurs numériques ; on se demande si yi peut avoir une valeur numérique rationnelle. Pour l'équation x^ — ^ = 0, on se demande si une racine de cette équation peut être représentée par une fonction rationnelle de ).. Dans le premier cas. le domaine de rationalité comprend l'ensemble des nombres rationnels ; dans le second cas, il est formi? par les fonctions rationnelles d'un paramètre.

Ce paramètre étant supposé indépendant, on voit immé-

diatement qu'aucune expression de la forme

dans

laquelle çP) et <^{l] sont des polynômes, ne peut vérifier notre équation. L'équation considérée est donc irréductiblCi et, comme son degré n'est pas de la forme 2'', elle n'est pas résoluble à l'aide de radicaux carrés.