II. ii{x) — n'a pas de racines multiples
Car si elle en avait, son premier membre <^{x) pourrait se décomposer en facteurs rationnels d'après les méthodes connues de l'Algèbre (*) ; donc u(^) = ne serait pas irréductible.
III. ©(a;) = nadmtjt pas d'autres racines que les quantités X(.
S'il en était autrement, V{x) et o{x) admettraient un plus grand commun diviseur, qu'on sait calculer rationnellement. On pourrait donc décomposer «(x) en facteurs rationnels, ce qui est impossible, puisque f{x) est irréductible.
(■) TliÉorie des Riicines fg.ilcs.
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20 PREMIÈIIE PARTIE
IV. Soit M le nombre des a^, qui ont dos valeurs distinctes, et soient
Xi, X}, . . ., x„ ces quantités ; on aura
En effet, réquation if(x) = admet pour racines les quantités x,, .-., x^; elle n'admet pas de racines multiples; le polynôme o{w) est donc déterminé h un facteur constant près, dont la valeur n'importe pas pour l'équation
•^[xj = 0.
V. o{x) =; est la seule équation irréductible à coe/ficients rationnels admettant les Xi pour racines.
Car si f[x) = était une autre équation rationnelle irréductible admettant comme racine a;, et par suite toutes les quantités Xi, f{x) devrait être divisible par 0(3;) et par suite ne serait pas irréductible.
13. Comparons maintenant F{a;) et a[x). — Ces deux polynômes ont pour seules racines les x„ et en outre ■■^{x) n'admet pas de racines multiples. ¥{x) est donc divisible par '>{x) :
F,(3;) a nécessairement ses coefficients rationnels, comme étant le quotient de la division de F{a;) par ^(a:). Si ce n'est pas une constante, ce polynôme admet des racines appartenant à ¥{x) ; en admettant au moins une. il les admettra toutes (10). Donc Viix) est aussi divisible par ^[x), et
Si Yi[x) n'est pas une constante, le même raisonnement est encore applicable. Le degré des polynômes quotient s'abaisse à chaque opération ; par suite au bout d'un nombre limité de divisions on tombe sur une égalité de la forme
lV,(x) = C.oM.
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ÉOUATIONS RÉSOLUBLES PAR RADICAUX CARRÉS 21
Multipliant toutes les égalités obtenues membre à membre, il vient
F(a;) = C.[ïW]-.
Donc :
Le polynomo V{x) est une puissance dit polynôme de degré minimum o{x), abstraction faite d'une certaine constante.
14. Nous pouvons maintenant nous rendre compte du degré de f{x}. F(x) est du degré 2"* ; c'est de plus la n" puissance de 0(37), lequel est du degré M ; il en résulte que
Donc M est une puissance de 2 ; remarquons qu'il en est de même de n. D'où ce théorème :
Le degré de l'équation irréductible à coefficients rationnels, à laquelle satisfait une expression ne dépendant que de radicaux carrés, est une puissance de '2,
15. Gomme, d'autre part, il n'existe qu'une seule équation irréductible à coefficients rationnels, vérifiée par tous les a7;. i! en résulte la réciproque suivante :
Si une équation irréductible n'est pas du degré 2", elle ne peut certainement pas être résolue par radicaux carrés.
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CIIAPITRl-; M
Le problème de Délos et la trisection d'un angle quelconque.
1. j\ppliquons les théorèmes du cliapilre précédent au problème de Délos ou de la duplication du cube, fitant donné un cube dont l'arête est prise pour unité de longueur, il s'agit de trouver l'arête x d'un second cube dont le volume soit double de celui du premier, L'équalion du problème est évidemment
Cette équation est irréductible ; car si elle ne l'était pas, son premier membre pourrait se décomposer en facteurs rationnels, dont l'un au moins serait du premier degré en X. Il existerait donc une valeur rationnelle pour V^, ce qui n'est pas.
D'autre part, le degré do cette équation n'est pas de la forme S** ; donc ses racines ne peuvent s'exprimer uniquement à l'aide de racines carrées en nombre fini. Par suite il est impossible de- les construire, c'est-à-dire de résoudre le problème proposé avec la règle et le compas.
