CHAPITRE V LTntégraphe et la construction géométrique de r

1. Le théorème do M. Lindomann démontre la transcendance du nombre tt ; ainsi se trouve démontrée l'impossibilité de la quadrature du cercle, non seulement au sens où l'entendaient les anciens, mais d'une manière beaucoup plus générale,

H est impossible de construire it avec la règle et le compas; il n'existe mi^me pas do courbe d'ordre supérieur, déflnie par une équation algébrique, pour laquelle t. soit l'ordonnée correspondant à une valeur rationnelle de l'abscisse.

Une véritable construction géométrique de tt ne peut donc être efl'ectuée qu'à l'aide d'une courbe transcendante. Comme d'ailleurs il s'agit d'une véritable construction, il faut posséder un appareil transcendant permettant de tracer la courbe en question d'un trait continu,

2. Cet appareil, c'est rinfégrapAe, qui a élé récemment inventé et décrit par un ingénieur russe, M. Abdank-Abakanowicz, et construit par M. Coradi à Zurich.

Cet instrument permet de tracer la courbe intégrale

Y = F(i)=y>(»)«ii,

quand on connaît la courbe différentielle

A cet effet, on conduit l'intégraphe de telle manière que !a pointe directrice décrive la courbe différentielle ; une autre pointe, la pointe traçante décrit alors la courbe inté-

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L'iiNTlif-IIAPlIE 1)5

grale. Nous renvoyons au mémoire original (en allemand chez Tcubner, 1889 ; en français chez Gauthier-Villars) pour la description de cet ingénieux instrument.

Indiquons seulement son principe. Etant donné un point {x, y) de la courbe différonlielle

construisons le triangle auxiliaire, qui a pour sommets les points(«, y), (3;,0),(3: — 1, 0}, L'hypoténuse de ce triangle rectangle fait avec l'axe des x un angle dont la langenle est égale à y.

Cette hypoténuse est donc parallèle à la tangente à la r.oui-l>c inléyrale au point {X,Y), correspondant au point {x, y).

L'appareil devra donc être construit de telle façon, que la pointe traçante se déplace parallèlement à la direction variable de cette hypoténuse, pendant que la pointe directrice décrit la courbe différentielle. On réalise ce mouvement en reliant la pointe traçante à une roulette à arête vive, dont le plan, toujours vertical, est constamment parallèle à cette hypoténuse. Un poids presse cette roulette sur le papier, et par suite son point de contact ne peut se déplacer que dans la direction du pian de la roulette.

On utilise l'intégraplie ou intégrateur à calculer pratiquement des intégrales définies. Pour nous, il est particulièrement intéressant au point de vue de la construction géométrique de ti.

3. Prenons comme courbe différentielle le cercle ■^' + '/ = '■'■ La courbe intégrale est alors

CeUe courbe consiste en une suite de branches égales entre elles [fig. 17). Les points où elle rencontre l'axe OY ont pour ordonnées

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