Forme normale de x

Si l'expression a; est une somme de termes de dénominateurs différents, on les réduira au môme dénominateur ; X se présente alors sous la forme du quotient de deux fonctions entières.

Soit ^/Q un des termes d'ordre [n; il ne peut figurer dans a- que sous forme explicite, puisque j-i est l'ordre maximum. D'autre part les puissances de Q s'expriment en fonction de /Q et de Q qui est un terme d'ordre inférieur à [1. La valeur de x peut donc se ramener à la forme

^^ g + WQ" .

c^d^' a, 6, c, d ne contiennent plus que (n — 1) termes d'ordre !i et les termes d'ordre inférieur.

Multipliant les deux termes par c — d^j^, le dénomi-

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ÉQUATIO-NS RÉSOLCBLES PAR RADICAUX CAIlIlfiS 13

Dateur ne conlient plus j/Q ; il viont

c^ — d'Q I et p ne renferment plus que (n — 1} termes d'ordre ,u. Si on avait considéré un autre terme d'ordre n, par exemple ^0,, on aurait de même pu ramener la valeur de X à la forme

X = «iH-^n/Oi, etc.

On peut donc transformer x de manière que cette expression ne renferme un terme donné d'ordre ji qu'à son numérateur et qu'elle ne le conlienne que linéairement .

Remarquons d'ailleurs que, dans cette transformation, peuvent figurer les produits des termes d'ordre p.. En effet, a et p dépendent encore de ii — 1 termes d'ordre ii. On pourra donc faire en sorte que

^ = ^„+^,.jQ,, p = p„ + Pi,v/q;,

et par suite

6. Nous procéderons d'une façon analogue pour les différents termes d'ordre ii — 1, qui se présentent explicitement dans Q, Q,, etc.; chacune de ces quantités devient alors une fonction linéaire et entière par rapport au terme d'ordre [a — 1 considéré. Nous passons ensuite aux termes d'ordre inférieur, et nous finissons ainsi par mettre x et ses termes des divers ordres sous forme de fonctions rationnelles, linéaires et entières, par rapport aux radicaux qui y figurent explicitement. Kous dirons alors que x est mis sous la forme normale.

7. Soit m le nombre total des radicaux carrés indépendants {i) qui figurent dans cette forme normale. En attribuant le double signe à ces radicaux et les combinant de toutes les manières possibleSj nous obtiendrons un système

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de 2'" valeurs,

.7,-,, .To, . . ., x^„„

qui seront désignées par le nom de valeurs conjuguées. Nous allons chercher une équation admettant ces valeurs conjuguées comme racines.

8. Ces valeurs ne sont pas nécessairement toutes distinctes; car, si on a par exemple

cette expression ne change pas quand on change le signe de