Formons le polynôme
F{x) = ix-x,){x-x,]...{x-x^^).
L'équation F{x} = admet évidemment pour racines les différentes valeurs conjuguées; elle est du degré 2™, mais peut admettre des racines multiples (8).
Les coefficients du polynôme Fix), ordonné par rapport à x, sont rationnels.
Changeons en effet le signe d'un des radicaux carrés, ce qui a pour effet de permuter deux racines, x-^ et x-^- par exemple, puisque les racines de ¥[x) sont précisément toutes les valeurs conjuguées. Comme ces racines n'entrent dans F{x) que sous la forme du produit
{x — x^){x— Iv), on ne fait que changer l'ordre des facteurs de F(a;) ; donc ce polynôme ne change pas.
F{x} reste donc invariable quand on change le signe de l'une quelconque des racines carrées; il ne contient donc que leurs carrés ; il en résulte bien que ses coefficients sont rationnels,
10. Lorsque l'une quelconque dex valeurs conjuguées vérifie une équation à coe^cients rationnels f(x) = 0, il en est de même de toutes les autres.
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ÉlJLATlONS RÉSOLUBLES PAR RADICAUX I^ARHÉS 17
f\x) n'est pas nécessairement égal à F{x), et peut admettre d'autres racines en dehors des xi.
Soit a;, = '^ + ^v'O" une des grandeurs conjuguées, ^Q un terme d'ordre i^; a et p dépendent encore des autres termes d'ordre [i et des termes d'ordre inférieur. Il existe alors une grandeur conjuguée
x\ =^ — ps/Q.
Exprimons que x, satisfait à l'équation f(x) — û. Mettons f[X,) par rapport à v'Q" ^ous la forme normale
/■(a;,) = A + B^Q"; cette expression ne peut être nulle que sous les conditions simultanées
A z= 0, lï = 0;
s'il en était autrement, on aurait
on pourrait donc exprimer /Q" rationnellement en fonction des termes d'ordre ^i et des termes d'ordre inférieur contenus dans A et B, ce qui est contraire à l'hypothèse do l'indépendance de toutes les racines carrées (4).
Mais on a évidemment
/■(^■;) = A-B/Q; si donc f{x,) est nul, il en est de même de f{x't). D'où cette première proposition :
Si la grandem- x, satisfait à l'équation f{x) = 0, il en est de même de toutes les valeurs conjuguées qui se déduisent de X, par le changement de signe de l'un des termes d'ordre ji.
La démonstration se fait d'une manière analogue pour les autres valeurs conjuguées. Supposons par exemple (ce qui no restreint pas la généralité du raisonnement) que l'expression X ne dépende que de deux termes d'ordre n, ■/Q ^t \/^. fi^i) pourra être ramenée i la forme normale suivante :
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18 l'IiKMlKlu: l'AiiTIE
Si X dépondait do plus de doux termes d'ordre n. il faudrait adjoindre à l'expression précédente un plus grand nombre de termes de structure analogue.
L'équation (a) n'est possible que si l'on a séparément
sans quoi /^ et /(?" seraieot liés par une relalton rationnelle, ce qui est contraire à l'hypothèse {i).
Soient maintenant ï/tTet vW les termes d'ordre jx — 1 dont dépend x,; ils figurent dans/?, g, r, s; on pourra donc mettre ces quantités sous la forme normale par rapport à v'R et ^R^ (en supposant qu'il n'y en ail que doux). On obtient ainsi des équations de la forme
(c) p = A,-4-/iyK'+mn/R^ + )?iv'RR' ^
et d'autres équations analogues pour q. r, s.
L'hypothèse, déjà plusieurs fois utilisée, de l'indépendance dos radicaux, nous donne de suite les conditions kl = 0, ;, = 0, )M, = 0, n, = 0, etc.
Il en résulte que les équations (c) et par suite aussi f[x) = 0, sont vérifiées, lorsque, au lieu de x,, on emploie les valeurs conjuguées qui s'en déduisent par les changements de signe de v'R'et ^/W- Donc :
L'équation flx) = est aussi vérifiée par toutes les valeurs conjuguées qui se déduisent de x, en changeant le signe de l'un des termes d'ordre [i — 1.
Le même procédé de démonstration s'applique évidemment aux termes d'ordre 1^—2, jA — 3, etc., ce qui prouve entièrement la proposition énoncée.
H. Nous venons de considérer deux équations ¥(x) = et f{x) ^ 0, à coefficients rationnels, admettant toutes deux comme racines les quantités a-;.
ÉOLATIOXS KftSULUBLES PAU BAn[i;AU\ CAUKKS 19
F(3:) est du degré 2™, et peut avoir des racines multiples; dx) peut avoir d'autres racines que les Xi.
Soit <s[x} = l'équation de moindre degré, à coeflîcients rationnels, admettant la racine x, et par suite toutes les quantités Xi (10).
