I. a,(a:) := 0 est une équation irréductible

Cela veut dire que son premier membre ne peut être mis sous forme d'un produit de deux polynômes à coeflicients rationnels.

Si on avait en effet

oîx) = ^{x)y{x),

la condition o x^ = 0 entraînerait

^'Xi) = 0 ou vi^i) = ^^■

Mais, d'après lOi, si Xi satisfait à Féquation à coefTicients rationnels 'h{x) — 0, il en est de même de toutes les valeurs conjuguées Xi ; '-^[x) = 0 ne serait donc pas l'équation du moindre degré ayant les Xi pour racines.

n. 'f X = 0 n'a pas de racines multiples.

Car si elle en avait, son premier membre ^{x'\ pourrait se décomposer en facteurs rationnels d'après les méthodes connues de l'Algèbre (*) ; donc o .r) = 0 ne serait pas irréductible.

III. o x = 0 n'admet pas d'autres racines que les quantités Xi.

S'il en était autrement, Fi.r) et o'x, admettraient un plus grand commun diviseur, qu'on sait calculer rationnellement. On pourrait donc décomposer o[x) en facteurs rationnels, ce qui est impossible, puisque o'x] est irréductible.

(*) Théorie des Racines égales.

20 PREMIÈRE PAKTIE

IV. Soit M le nombre des Xi qui ont des valeurs distinctes, et soient

ces quantités ; on aura

o[x) = C(X Xi){x — Xi), . .{X — Xm).

En effet, Téquation o{x) = 0 admet pour racines les quantités Xi, ..., x,„; elle n'admet pas de racines multiples ; le polynôme o{x) est donc déterminé à un facteur constant près, dont la valeur n'importe pas pour l'équation

V. o[x) = 0 est la seule équation irréductible à coe^cients rationnels admettant les Xi pour racines.

Car si f{x) = 0 était une autre équation rationnelle irréductible admettant comme racine x, et par suite toutes les quantités a-,, f{x) devrait être divisible par o :r et par suite ne serait pas irréductible.

13. Comparons maintenant F{x) et o[x). — Ces deux polynômes ont pour seules racines les x,, et en outre <f{x) n'admet pas de racines multiples. F[x) est donc divisible par o[x) :

¥{x) = Fi(x).o(x).

Fi(ar) a nécessairement ses coefficients rationnels, comme

étant le quotient de la division de F(a:) par o{x). Si ce

n'est pas une constante, ce polynôme admet des racines

appartenant à F{x) ; en admettant au moins une. il les

admettra toutes (10). Donc F,^ : est aussi divisible par

(s(a.'), et

Si F^ix) n'est pas une constante, le même raisonnement est encore applicable. Le degré des polynômes quotient s'abaisse à chaque opération ; par suite au bout d'un nombre limité de divisions on tombe sur une égalité de la

forme

F„,(ar) = C . o(x).

ÉQUATIONS RÉSOLUBLES l'AH HADICAUX CAHHÉS 21

Miilliplianl toutes les égalités obtenues membre à membre,

il vient

Donc :

Le polynôme F(x) est une puissance du polynôme de degré minimum o[x), abstraction faite d'une certaine constante.