Nous pouvons maintenant nous rendre compte du

degré de o[x). F{x) est du degré 2'" ; c'est de plus la

»" puissance de o{x), lequel est du degré M ; il en résulte

que

Donc M est une puissance de 2 ; remarquons qu'il en est de même de n. D'où, ce théorème :

Le degré de l'équation irréductible à coefficients rationnels, à laquelle satisfait une expression ne dépendant que de radicaux carrés, est une puissance de 2.

15. Comme, d'autre part, il n'existe qu'une seule équation irréductible à coetïicients rationnels, vérifiée par tous les Xi, il en résulte la réciproque suivante :

Si une équation irréductible n'est pas du degré 2'', elle ne peut certainement pas être résolue par radicaux carrés.

CHAPITHi: Il

Le problème de Délos et la trisection d'un angle quelconque.

1. Appliquons les théorèmes du chapiire précédent au problème de Délos ou de la duplication du cube. Étant donné un cube dont Tarête est prise pour unité de longueur, il s'agit de trouver l'arête x d'un second cube dont le volume soit double de celui du premier. L'équation du problème est évidemment

Cette équation est irréductible ; car si elle ne l'était pas, son premier membre pourrait se décomposer en facteurs rationnels, dont lun au moins sérail du premier degré en X. Il existerait donc une valeur rationnelle pour v^2, ce qui n'est pas.

D'autre part, le degré de cette équation n'est pas de la forme 2'' ; donc ses racines ne peuvent s'exprimer uniquement à l'aide de racines carrées en nombre fini. Par suite il est impossible de les construire, c'esl-à-dire de résoudre le problème proposé avec la règle et le compas.