G PREMIÈRE PARTIE

D'où, en remarquant que

X = /■ cos 0, ]j = r sin 0,

on déduit l'équation

La courbe est donc du 3* ordre ; elle possède un point de rebroussement à l'origine, et admet Taxe des x comme axe de symétrie. La tangente en A est asymptote à la courbe, laquelle passe en outre par les points cycliques.

Pour résoudre à l'aide de cette courbe le problème de Délos, écrivons son équation sous la forme

On voit alors que la cissoïde peut être engendrée par lintorseclion des deux droites variables

La première passe par l'origine et intercepte sur la tangente en A la longueur À ; la seconde passe par le point S.{x= 1, y = 0) et intercepte sur Taxe des »/ la longueur À''.

De là une construction simple de y-i . On prend sur Qy une longueur OD = -f-2; on mène AD qui coupe la cissoïde au seul point réel P ; on mène enfin OP qui détermine sur la tangente en A la longueur

A(j = Î/ÔD = V%

4. La ciDiclioid''- de A'icoDirdi' (environ 150 ans av. .1 -C.) s'obtient de la manière suivante.

Soit 0 (//'/. 14) un point fixe, et '/ sa distance à une droite fixe D. Faisons tourner autour du point 0 un ravim mobile: à partir du point P, où il ronconti(^ la droite, por-

r.ONSTRL'CTK^N DKS KXPHKSSIONS AI.CKlilUOlKS. r.RNKliALlTÉS 57

Ions sur lui dans les deux sens une même longueur h ;

le lieu des extrémités de ces longueurs est la conchoïde.

Selon que b est supérieur ou inférieur à r/, elle admet à l'origine un point double ou un point isolé; pour h^=.a, c'est un point de rebroussement.

De cette construction on déduit très simplement l'équation de la ligne en prenant pour axes des x et des ?/ la perpendiculaire et la parallèle menées par 0 à la droite D.

Posant OQ — /•, on a

jl - A

Fig. 1 i XX — a

d'où

(a-2 ->r-f\x — af — 6V- == 0.

La conchoïde est donc du quatrième ordre, possède un point double à l'origine, se compose de deux branches ayant pour asymptote commune la droite ce = a. En outre on voit que la courbe passe par les points cycliques, fait important pour la suite des raisonnements.

Voici comment cette courbe, supposée construite, permet d'effectuer la trisection d'un angle quelconque.

Soit ç = MO)/ l'angle à diviser en trois parties égales. Prenons sur le côté OM une longueur OM = h, menons par M la parallèle à O7 ; construisons enfin la conchoïde

58 l'iii.MiKi!!-: l'AiniF:

ayant 0 comme point double, la parallèle comme asyinptole et caractérisée par la longueur b.

Cela fait, décrivons de M comme centre un cercle de rayon h ; la figure montre évidemment qu'il rencontre la conchoïde en un point A situé à l'intérieur de l'angle MO//. On démontre sans ditliculté aucune que

Nos recherches précédentes nous ont appris que le problème do la trisection de l'angle est un problème du 3* degré; il admet les trois solutions

Toute construction géométrique qui résout ce problème à l'aide d'une courbe de degré supérieur, doit fournir naturellement toutes les solutions, sans (juoi léquatinii du problème ne serait pas irréduclible.

Ces solutions résultent en cflet de notre figure. Le cercle et la conchoïde se coupent en 8 points (*). Deux d'entre eux sont confondus à l'origine, doux autres avec les points cycliques ; aucun d'eux ne peut fournir une solution du problème. Restent donc quatre points d'intersection, de sorte qu'il semble y avoir une solution de trop. Cela tient à ce que, parmi les 4 points, se Irouvo nécessaiiomenl le

point B, tel que

0MB = 2A,

point qu'on peut construire sans le secours de la courbe. 11

ne reste donc plus que trois points qui correspondent aux

trois racines fournies par la solution algébrique.