CHAPITRE V
Généralités sur les constructions d'expressions algébriques .
1. Nous allons maintenant laisser de côté les constructions avec la règle et le compas. Avant de quitter ce sujet, mentionnons une méthode nouvelle et très simple, pour effectuer certaines constructions : le pliage du papier. M. Hermann Wiener a montré comment, en pliant convenablement un papier, on peut obtenir le réseau des polyèdres réguliers (*). Un fait singulier, c'est que, vers la même époque, un mathématicien hindou, Sundara Row, de Madras, a fait paraître un petit écrit sur le même sujet, « On paper folding » (sur le pliage du papier). La même idée y- est développée d'une façon plus étendue ; l'auteur montre, par exemple, comment, en pliant convenablement un papier, on peut construire par points des lignes courbes telles que l'ellipse, la cissoïde, etc. (Londres, Macmillan 1893).
2. Cherchons maintenant comment on peut résoudre géométriquement les problèmes dont la forme analytique est une équation du 3' degré ou de degré supérieur, et voyons en particulier comment les géomètres anciens y sont parvenus.
L'idée la plus naturelle est de recourir aux coniques ; les anciens s'en sont beaucoup servis ; ils ont trouvé en particulier que l'emploi de ces courbes permettait de résoudre
(*) Voir le catalogue de l'exposition matliématique de Munich 1893, édité par Dyk ; Appendice p. 52.
Oi l'ItEMIKHK PAHTIE
le problùnie do la (Juplication du cube et de la trisection de l'angle.
Voici, en quelques mots, comment on peut résoudre graphiquement l'équation du 3' degré
.x' -+- ax^ -\- hx -\- c = 0, ou l'équation du i" deirré
a* -h ax'^ -H bx'^ -h co: + rf = 0. Posons a:^ = ?y; nos équations deviennent
xij -t- ay -r /> J^ + c = 0, et ?/^ + axy H- h]i -^ ex + d =^ i).
Les racines des équations proposées sont donc les abscisses des points communs à deux coniques.
L'équation x- = y représente une parabole dont l'axe est dirigé suivant ()?/. La seconde équation
xy -\- ay -\- bx -\- c =: 0 représente (fiy. 11 j une hyperbole dont les asymptotes sont parallèles aux axes de coordonnées. L'un des quatre points d'intersection est à Tinlini sur Taxe des y, les trois autres sont à distance Unie, et leurs abscisses sont les racines de l'équation du 3° degré.
JO
FiL'. Il
Dans le 2'' cas, la parabole est la mémo. Lhyporbole {/{g. 12") a toujours une asymptote parallèle à Ox, tandis que l'autre n'est plus perpendiculaire à O.r; les courbes ont
niainlcnanl iiiialrc [ininls irinliM'siHMion à ilistance Unie.
CONSTRUCTION ItES i:\PHESS10NS AL(;i;niilnli:S. (JKNKHALITKS OO
Un tiuuveia l'exposition (kUaillée des procédés des géomètres anciens dans le grand ouvrage de M. Maurice Cantor : Histoire des Mathànaliques ( Leipzig 1894, 2* édition . Comra? ouvrages intéressants sur le même sujet, on peut encore citer : Les coniijues ilans rnnfiquité, par Zoutlien (Copenhague IH86); la Grométrii' nmihjliqvc éo, Baltzer Leipzig 18821.
3. Outre les coniques, les anciens utilisèrent aussi des courbes de degré supérieur, qui furent d'ailleurs précisément inventées à Toccasion des problèmes qui nous occupent. Nous ne parlerons ici (jue de la cissoïde et de la ca^hchoide.
La cissoïde de iJiocIrs (150 ans av. J.-C. ) se construit de la manière suivante. On donne i fig. 13 un cercle, un diamètre OA et la tangente en A. Une sécante menée par 0 rencontre le cercle en B et la tangente en G ; on porte sur cette sécante, à partir de G, une longueur OM = BC. Le lieu géométrique de M, quand on fait tourner la Fig. i:î sécante autour de 0, est la. cissoïde.
Formons son équation, en prenant pour axes des x et des y le diamètre OA et la tangente en 0. Posons OM = >\ MOx = 6, et prenons pour unité de longueur le diamètre du cercle. Il vient alors
OC = — , cos 0
OB = cos e,
donc
cos 0
— cos 0 =
sin^»
cos 0
