CHAPITRE I
Existence des nombres transcendants.
Démonstration de M. Gantor.
1. Représentons comme de coutume les nombres par les points d'un axe des abscisses. Si nous nous bornons aux nombres rationnels, les points correspondants rempliront l'axe des abscisses avec une « densité parfaite », c'està-dire que dans un intervalle, si petit qu'il soit, il y a une infinité de tels points. Néanmoins, comme les géomètres anciens l'avaient déjà reconnu, Vensemble continu des points de l'axe n'est pas épuisé de cette manière; les nombres irrationnels s'introduisent entre les nombres rationnels, et la question se pose si, parmi les nombres irrationnels, il ne faut pas encore faire certaines différences.
Définissons d'abord ce qu'on entend par nombres algébriques. On appelle ainsi toute racine d'une équation algébrique
flow" -h Qiw"-' -h ••• -+- fl„ia) -I- a„ = 0,
dont les coefficients sont des nombres entiers, premiers entre eux. Bien entendu il n'est question que de racines réelles.
Les nombres rationnels en sont un cas particulier comme
62 LiiaxiKMi-: i'autii:
racines des cqualions do la fonne
Ou'u -î- o, = U.
Les nombres algébriques réels forment-ils un ensemble continu, ou bien une suite discontinue, telle qu'on puisse insérer d'autres nombres dans ses intervalles? Ces nouveaux nombres, les nombres transcendants, seraient alors caractérisés par cette propriété de ne pouvoir être racines d'une équation algébrique entière à coefficients entiers.
Cette question a d'abord été résolue par Liouville (Comptes Rendus 1844, et Journal de Liouville, Y. 16, 1851 : il a en efl'et démontré l'existence de nombres transcendants. Mais sa démonstration, qui s'appuie sur la théorie des fractions continues, est assez compliquée. La question devient beaucoup plus simple lorsqu'on se place au point de vue développé par M. Georges Cantor dans un mémoire d'une importance capitale : Sur une propriété de Vensemble des nombres algébriques réels (Journal de Crelle, t. 77, 1873 . Nous allons exposer sa démonstration, en utilisant une idée un peu plus simple, que M. Cantor, sous une forme différente il est vrai, avait signalée à l'assemblée des * ÎS'aturforscher » à Halle en 1891.
2. La démonstration repose sur cette propriété que les nombres algébritjucs forment un ensemble énuniérablr, tandis qu'il en est autrement des nombres transcendants. M. Cantor veut dire par là qu'on peut ranger les premiers dans un certain ordre, tel que chacun d'eux occupe une place déterminée, numérotée pour ainsi dire. Cette proposition peut aussi s'énoncer de la manière suivante :
On peut établir une corrrspondanrr univoqu»' mtrc la multiplicité des nombres alijébri)jues réels cl la inulliplicilé drs nombres entiers positifs.
11 semble (juil y ail là une impossibilité. Les nombres entiers positifs ne forment ([u'iinc jiartie des nombres
F.XlSTKNCh I)i:S MiMIUtKS THANSCK.NDANTS (V-l
algébriques léols: piiisqu'ù cliaquc nombre du premier ensemble on peut faire correspoiuiro un nombre et un seul du second, la partie serait donc égale au tout. Cetle objection repose sur une analogie inexacte. Le théorème qui dit que la partie est plus petite (|ue le tout, n'est plus valable quand il s'agit de grandeurs en nombre infmi. Il est bien évident par exemple qu'on peut établir une correspondance univoque entre les nombres entiers positifs et les nombres pairs positifs, il sullit d'écrire
Quand il s'agit de quantités infinies, les mots (jrand et jii'lU ne sont pas bien à leur place.
M. Cantor a proposé de les caractériser par leur puissance : Dmx collrclions infinies ont même puissance , lot'siju'on peut établir entre Irurs éléments une correspondance univoque.
Le théorème que nous avons à démontrer prend alors la forme suivante :
L'ensemble des nombres algébriques réels a même puissance que rensemble des nombres entiers positifs.
On obtient l'ensemble des nombres algébriques réels en cherchant les racines de toutes les équations algébriques de la forme
a^t-o" H- aiw"""' -h ... -h a„ico -+- o„ = 0.
Tous les a sont supposés premiers entre eux, a^ est positif et l'équation est irréductible.
Afin de ranger les nombres ainsi obtenus dans un certain ordre, nous considérons leur hauteur N, qui est représentée par
N = " — 1 4- I «0 I -^ I «1 I -^ • - . H- I On I ;
I 0; 1 représente la valeur absolue de a^. A un nombre donné N correspond un nombre fini d'équations algébriques. En effet, ^' étant donné, le nombre n a certainement une limite supérieure, puisque X est égal à n — 1, aug-
IJICUXIEMK l'AUTIli:
mente de nombres positifs ; en outre la différence N — u — 1 ^ est une somme de nombres positifs premiers entre eux, dont le nombre est évidemment fini.
|ao|
kl
l«vl
Equation
Racines
2a; zt 1 =0
i:mstic\ck 1)i:s nomiîuks tkanscendants 05
Parmi ces équations, il faut écarter celles qui sont réductibles, ce qui u'odrc théoriquement aucune difficulté.
Le nombre des équations correspondant à une valeur donnée de N étant limité, il ne correspond à cette valeur qu'un nombre limité de nombres algébriques. Nous désignerons ce nombre par o(N). Le tableau ci-contre contient le calcul de cp(l), «.(2), (ç(3), o(4) et des nombres w qui leur correspondent.
Rangeons maintenant ces nombres algébriques suivant leur hauteur N, en ordonnant les nombres qui correspondent à une même valeur de N suivant leur grandeur croissante. Nous aurons ainsi tous les nombres algébriques, chacun d'eux à une place déterminée. C'est ce qui a été fait dans le tableau précédent.
Notre proposition est donc démontrée.
3. Voici maintenant la proposition générale que nous avons en vue :
Si on considère une portion de l'axe des x, aussi petite que l'on veut, il s'y trouve une infinité de points qui n''appartiennent certainement pias à un ensemble énumérahle donné .
En d'autres termes :
/.'ensemble continu des valeurs numériques représentées par les points de l'axe des x contenus dans une portion de cet axe, si petite qu'elle soit, a une puissance plus grande que celle d'un ensemble énumérable donné.
Cela revient visiblement à affirmer l'existence des nombres transcendants; il suffit de prendre comme ensemble énumérable celui des nombres algébriques.
Pour démontrer ce théorème, dressons le tableau des
nombres algébriques, comme précédemment, et écrivons-y
tous les nombres sous forme de nombres décimaux ; aucun
deux ne sera terminé par une suite indéfinie de 9 ; car
l'égalité
on iiKLXir.ME CAinii!:
montre qu'un tel nombre est un nombre décimal exact.
Si maintenant nous pouvions construire un nombi'c décimal qui ne soit pas terminé par une suite indéfinie de 9, et qui ne se trouve pas dans notre table, ce serait certainement un nombre transcendant. Un procédé très simple, indiqué par M. G. Cantor, permet de trouver non seulement un tel nombre, mais une infinité, même si les limites entre lesquelles doit se trouver le nombre sont extrêmement rapprochées. Supposons, par exemple, que les cinq premières décimales du nombre soient données (*). Le procédé de M. Cantor est alors le suivant.
On prend pour 6"= décimale un nombre différent de 9 et de la 6" décimale du premier nombre algébrique; pour 7^ décimale, un nunibre différent de 9 et de la 7« décimale du second nombre algébrique, etc. De cette manière, on obtient une fraction décimale indéfinie, qui ne sera pas terminée par une suite indéfinie de 9, et qui certainement n'est pas contenue dans notre table. La proposition est donc démontrée.
On voit aussi par là (si on veut bien nous permettre cette expression) qu'il y a beaucoup plus de nombres transcendants que de nombres algébriques. En effet, quand on détern:iine les décimales inconnues, on peut choisir, en évitant les 9, huit nombres différents; on forme ainsi des nombres transcendants au nombre de x**, même quand ils doivent être compris entre des limites aussi rapprochées que Ton veut.
(*) Cest-à-dire que les limites entre lesquelles doit r-tre cominis le nombre diffèrent de — - • 10'
ClIAPITIII': II
Coup d'œil historique sur les tentatives de calcul et de construction de -.
Nous allons faire voir que le nombre - appartient à la classe des nombres transcendants dont l'existence a été démontrée dans le chapitre précédent. La preuve rigoureuse en a été fournie par Lindemann en 1882; il a ainsi résolu délinitivement un problème qui a préoccupé les mathématiciens depuis (juatre mille ans (aussi loin que peut remonter l'histoire) ; c'est celui de la quadrature du cercle.
En effet, si - n'est pas un nombre algébrique, il est impossible de le construire avec la règle et le compas; la Ijuadrature du cercle est donc impossible au sens où l'entendaient les anciens. Il est intéressant de suivre les tentatives faites en vue de la solution de ce problème aux différentes époques de la science, de voir comme on a toujours essayé de nouvelles constructions avec la règle et le compas, comment enfin ces efforts nécessairement infructueux ont exercé l'influence la plus féconde sur les branches les plus diverses des Mathématiques.
Les éléments de la petite revue historique que nous allons faire sont empruntés à un ouvrage très recommandable de M. Rudio : « Archimède, Huygens, Lambert, Legendre. Quatre mémoires sur la mesure du cercle » {Leipzig 1892). Ce livre contient la traduction allemande des recherches des auteurs nommés ci-dessus. Quoique le mode d'exposition s'éloigne beaucoup des idées modernes dont nous allons faire usage, on y trouvera néanmoins des particularités intéressantes, dont on pourra tirer une utililé pratique au point de vue de l'enseignement.
08 DKL'XIKME PAKTIE
1. Dans les tentatives faites pour déterminer le rapport du diamètre à la circonférence, on peut d'abord distinguer Vépoquc, empirique^ dans laquelle on cherche à arriver au but par mesure ou estimation directe.
Le document mathématique le plus ancien qui existe, le (.i Papyrus Jfhind» (environ 2000 ans avant J.-C), énonce déjà le problème sous sa forme bien connue : construire un carré équivalent à un cercle donné. L'auteur du papyrus. Ahnics^ donne la règle suivante : on retranche d'un diamètre une quantité égale à son neuvième ; on construit un carré ayant pour côté la partie restante ; il est équivalent au cercle. On obtient ainsi pour - une valeur pas trop
erronée,
Bien moins exacte est la valeur t: =z 'S, que l'on trouve dans la Bible (!<"" Livre des Rois, 7, 23 ; 2" livre de la Chronique, 4, 2.)
2. Les Grecs, Archimède en particulier, s'élevèrent audessus de ce point de vue empirique. Dans son livre « •/.•jy.)>oj [jLETOTjC.; », ce dernier géomètre calcule la surface du cercle au moyen de celle des polygones inscrits et circonscrits, comme on le fait encore aujourd'hui dans l'enseignement élémentaire. Sa méthode resta en usage jusqu'à l'invention du calcul différentiel ; elle fut particulièrement développée et rendue pratique par Huygens (mort en 16oi , dans son ouvrage « de magniludim' riiu-tili invriila ».
De môme que la duplication du cube et la trisection de l'angle, les géomètres grecs cherchèrent à ell'ectuer la quadrature du cercle au moyen de courbes de degré supérieur.
Considérons par exemple la courbe y = arc siu .r.
Elle se présente sous la forme d'une sinussoïde à axe vertical. (i('oiiu'lri(iuom('nl, - se présente comme une ur-
iiisToniijL'i': i»i;s ESSAIS m: kai.cl i- i;t m-: co.nsthl'ction me - 6U
donnoo particulière de cette courbe ; au point de vue de la théorie des fonctions, c'est une valeur particulière de notre fonction transcendante. Appelons appareil transcendant tout appareil ([ui trace une courbe transcendante; un appareil transcendant qui dessine la sinussoïdc nous donnera une construction géométrique de t..
La courbe rj = arc sin x s'appelle dans le langage moderne une courOe int(>i/rali% parce qu'on peut la définir par l'intégrale d'une fonction algébrique,
r dx
Les anciens désignaient ces courbes sous le nom de quadratrices ou TEtpaYoviÇojja. La plus connue est la quadratrice de Dinostrate (environ 350 ans avant J.-C.) ; elle avait déjà été construite antérieurement par Hippias (420 av. J.-C), qui s'en servit pour la trisection de l'angle.
Elle se définit géométriquement de la manière suivante ifig. 15).
Etant donné un cercle et deux rayons rectangulaires OÂ et OB, deux mobiles M et L se meuvent d'un mouvement uniforme, l'un sur le rayon OB, l'autre sur l'arc ÂB. Ils parlent au même instant de leurs positions initiales 0 et A et arrivent simultanément en B. Le j}oint d'intersection P de OL avec la parallèle MP menée par M à OA décrit la quadratrice.
De cette définition, il résulte que y est proportionnel
à 6 ; comme d'autre part y = l nour 0 =
Fig. 15
pour
on a
De plus
70 d?:l\ième partie
" = arc lir— ; donc l"équation do la iju ulralrice est
a- Elle rencoiitio l'axe des x en un point dont labscisse est
X =z lim
donc
D'après cette forniulo. le rayon du cercle est la moyenne proportionnelle entre la loni:ueur du quadrant et l'abscisse du point d'intersection de la quadratrice avec Taxe des x. On peut donc se servir de cette courbe à la fois pour la rectification et la quadrature du cercle. Remarquons d'ailleurs que cela revient simplement à formuler le problème do la rectification sous forme géométrique, aussi longlemiis (|u'oii n'aura pas constiuil un appareil permettant de décrire la courbe d'un trail coniinu.
Fii;. ic.
La ligure Ui donne une idée de la lorme de la eourbe, avec les brancbes qu'on obtient en considérant les valenrs de " supérieures à t: on inrcricures à — -. Evidenuiiout
iiisToiuoti: iiKS i:ss.\is m: cai.ci i. kt mi; (•.(insthlt.tion m-; - 71
la ([iiailralrici' (.k' l)iiii.>strali' iTcsl pas aussi commode que
la Cdiirbr
7 = aie sin x ;
mais il no semble pas que celle dernière ail été utilist'c parles géomèlres anciens.
3. La période de 1670-1770, caractérisée par les noms de Leibniz, Newton, Kuler, est celle de la naissance de l'analyse moderne. Les grandes découvertes se succèdent de près en une suite ininterrompue, et naturellement rétroite rigueur est quelque peu rejetée à Tarrière-plan. Pour notre point de vue. c'est le développement de la théorie des séries qui est particulièrement important. Un grand nombre de valeurs approchées de z en ont été déduites ; qu'il nous suffise de citer la série de Leibniz (connue d'ailleurs avant lui :
Dans cotte même période se place la découverte de la dépendance des nombres e et -. Le nombre e, les logaritlimes naturels et par suite la fonction exponentielle sont mentionnés d'abord dans les ouvrages de l'Anglais Napier (Neper 1614).
Ce nombre ne semblait d'abord avoir aucun rapport avec les fonctions circulaires et le nombre --, jusqu'à ce qu'Euler eût le courage do considérer des exposants imaginaires ; il arriva de cette manière à la célèbre formule
(?''■ = cos .r 4- i sin x,
qui, pour x — -^se réduit à
Cette formule est certainement une des plus remarquables qu'il y ait en Mathématiques. C'est à elle que se rattachent les démonstrations modernes de la transcen-
ri DICCMKMK l'AUTIE
dance de - ; elles comrnoncont par montrer la transcendance du nombre ''.
4. Après 1770 l'esprit critique reprit ses droits. Cette même année parut le livre de Lambert : Connaissances pr»:llminaires pour ceux qui clwrclicnl la quadrature du cerch'. Il y traite entre autres de Tirrationnalité du nombre t..
En 1794 Legendre démontra définitivement dans ses éléments de Géométrie que - et -^ sont des nombres irrationnels.
5. Ce n'est que cent ans plus lard que commencent les recherches modernes.
Le point de départ a été le Mémoire de M. Hermite « Sur la fonction exponentielle » (Comptes Rendus 1873, publié en 1874). Il y démontre la transcendance du nombre e.
Une démonstration analogue pour-, se rattachant étroitement à celle de M. Hermite, a été donnée par M. Lindemann (Mathematische Annalen, 20. 1H82. Voir aussi les Comptes Rendus des académies de Berlin et de Paris).
La question était donc entièrement élucidée pour la première fois ; mais les considérations de MM. Hermite el Lindemann étaient encore très compliquées.
La première simplification a été indiquée par M. Weierstrass dans les « Berliner Berichte » de 1885. Tous les travaux cités précédemment ont été réunis par Bachmann dans son livre : Leçons sur la nature des nomhres irrationnels, 189-2.
Au printemps de 1893 se produisirent do nouvelles et très grandes simplifications. En première ligne il faut citer les mémoires de M. Hilbert dans les « Gœttinger Nachrichten». Pourtant sa démonstration n'est pas encore absolument élémentaire ; il y reste encore une trace des idées de M. Hermite sous la forme do l'intégrale
UISTORIQUE DES ESSAIS DE CALCUL ET DE CONSTHUCTION DK - 73
.c-'.dz = o\ (*)
Peu de temps après, MM. Iluiwitz et Gordan ont montré qu'on peut se passer de cette formule transcendante, ((lœttinger iNachrichtcn ; Comptes Rendus; Math. .Vnnalen, Vol. «).
La démonstration a pris maintenant une forme tout à fait élémentaire et semble accessible à tout le monde. C'est à la marche suivie par M. Gordan que nous rattacherons notre exposé.
ciiAi'iTi;!-: III
La transcendance du nombre e.
