Nous nous appuierons sur le développement en série

bien connu de e'":

convergent pour toutes les valeurs de x.

Insistons, en passant, sur la différence entre la converfience théorique et la convercence pratique. Si on prend X = 1000, il est laborieux de calculer e'""" au moyen de cette série. Elle est pourtant convergente théoriquement ; on voit facilement qu'à partir du 1000* terme la facturielle 71 ! du dénominateur croît plus rapidement que la puissance

qui ligure au numérateur. Cotto circonstance, que

a pour limite zéro (piaiid n devient intini, est importante pour nos raisonnements ultf'riours.

2. Nous allons démontrer la proposition suivante : J.enoinbrf <• n'i'st pas un iiombir (iliji'brii/ur ; en d'autres termes, ce nombre ne peut être racine d'une équation entière à coeflicients entiers

F(a-) = Co + C,./- + . . + C,..r" = 0 ;

ou peut toujours supposer que les coelTicienls C, sont premiers entre eux.

Voici la marche de la démonslralion. Nons supposerons (juil exisli^ un nombre entier », et des entiers C,, prenii(^rs entre eux, te!s que l'on ail

F(,') = Co -f- C,-- + C,r- -+-...+ C„r" = 0.

LA TiiA.\si:i:.M).\>CH itr no.mhhi-: '• lo

En mullipHaiil les deux iik'iuIjii's ]);ir un cfilaiii iioinbre M, il vient

MF(^' ; = MC„ + MC,'' + MC,^-- -f- . . H- MC,/-".

Nous monlrerons qu'on piuit choisir ce nonibn! M de manière à satisfaire aux condilioiis suivantes :

1" Chacun des produits M'', Me-, ..., M'" peut ùlrc décomposé en une parlic cnliùrc M/., el une partie l'ractiorinaire e^. .

L'identité prend alors la forme

MF^^-) = MCo + M.C, -r MX, -i- . . . H- M„C„

+ C,-, + Co£.2 -h . . . + C„s„ =: 0. 2° La partie entière

MCo + M,C, + . . . 4- M„C,

n'est pas nulle. Cela résultera de ce fait (jue, divisée par un nombre premier, elle donne un reste différent de zéro. 3° L'ex)ression

peut être rendue aussi petite que l'on veut.

Ces conditions étant supposées remplies, Tidenlilé supposée est évidemment impossible, puisque la somme d'un entier non nul et d'une fraction proprement dite ne peut être égale à zéro.

3. Notre démonstration exige l'emijloi d'un certain symbole /«'■ et d'un polynôme o[x).